Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60551 / 33653
↖ ↑ ↗
← N 65.525482°
W 13.691711°		 ← 126.51 m → N 65.525482°
W 13.688965°		 →
↑
126.53 m
↓
↑
126.53 m
↓
N 65.524344°
W 13.691711°		 ← 126.51 m →
16 007 m²		 N 65.524344°
W 13.688965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60551 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33653 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461971282958984 y=0.256755828857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461971282958984 × 217)
    floor (0.461971282958984 × 131072)
    floor (60551.5)     		tx = 60551
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.256755828857422 × 217)
    floor (0.256755828857422 × 131072)
    floor (33653.5)     		ty = 33653
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60551 / 33653 ti = "17/60551/33653"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60551/33653.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60551 ÷ 217
    60551 ÷ 131072     		x = 0.461967468261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33653 ÷ 217
    33653 ÷ 131072     		y = 0.256752014160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461967468261719 × 2 - 1) × π
    -0.0760650634765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23896544
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.256752014160156 × 2 - 1) × π
    0.486495971679688 × 3.1415926535     		Φ = 1.52837217058625
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23896544} λ = -0.23896544}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52837217058625))-π/2
    2×atan(4.61066533360035)-π/2
    2×1.35721586763156-π/2
    2.71443173526311-1.57079632675     		φ = 1.14363541
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23896544} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.691711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14363541 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.525482°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60551 KachelY 33653 -0.23896544 1.14363541 -13.691711 65.525482
    Oben rechts KachelX + 1 60552 KachelY 33653 -0.23891751 1.14363541 -13.688965 65.525482
    Unten links KachelX 60551 KachelY + 1 33654 -0.23896544 1.14361555 -13.691711 65.524344
    Unten rechts KachelX + 1 60552 KachelY + 1 33654 -0.23891751 1.14361555 -13.688965 65.524344
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14363541-1.14361555) × R
    1.98599999998716e-05 × 6371000     		dl = 126.528059999182m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14363541-1.14361555) × R
    1.98599999998716e-05 × 6371000     		dr = 126.528059999182m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23896544--0.23891751) × cos(1.14363541) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.414288496431895 × 6371000     		do = 126.507976276095m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23896544--0.23891751) × cos(1.14361555) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.414306571842119 × 6371000     		du = 126.513495820054m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14363541)-sin(1.14361555))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.414288496431895-0.414306571842119)×R²
    abs(-0.23891751--0.23896544)×1.80754102241387e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.80754102241387e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.80754102241387e-05×40589641000000     		ar = 16007.1580018325m²