Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60550 / 33046
↖ ↑ ↗
← N 66.207092°
W 13.694458°		 ← 123.22 m → N 66.207092°
W 13.691711°		 →
↑
123.22 m
↓
↑
123.22 m
↓
N 66.205984°
W 13.694458°		 ← 123.22 m →
15 183 m²		 N 66.205984°
W 13.691711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60550 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33046 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461963653564453 y=0.252124786376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461963653564453 × 217)
    floor (0.461963653564453 × 131072)
    floor (60550.5)     		tx = 60550
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.252124786376953 × 217)
    floor (0.252124786376953 × 131072)
    floor (33046.5)     		ty = 33046
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60550 / 33046 ti = "17/60550/33046"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60550/33046.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60550 ÷ 217
    60550 ÷ 131072     		x = 0.461959838867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33046 ÷ 217
    33046 ÷ 131072     		y = 0.252120971679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461959838867188 × 2 - 1) × π
    -0.076080322265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23901338
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.252120971679688 × 2 - 1) × π
    0.495758056640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.55746986865562
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23901338} λ = -0.23901338}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.55746986865562))-π/2
    2×atan(4.74679602145595)-π/2
    2×1.36316403460712-π/2
    2.72632806921423-1.57079632675     		φ = 1.15553174
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23901338} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.694458°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15553174 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.207092°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60550 KachelY 33046 -0.23901338 1.15553174 -13.694458 66.207092
    Oben rechts KachelX + 1 60551 KachelY 33046 -0.23896544 1.15553174 -13.691711 66.207092
    Unten links KachelX 60550 KachelY + 1 33047 -0.23901338 1.15551240 -13.694458 66.205984
    Unten rechts KachelX + 1 60551 KachelY + 1 33047 -0.23896544 1.15551240 -13.691711 66.205984
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15553174-1.15551240) × R
    1.93399999999233e-05 × 6371000     		dl = 123.215139999511m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15553174-1.15551240) × R
    1.93399999999233e-05 × 6371000     		dr = 123.215139999511m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23901338--0.23896544) × cos(1.15553174) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.403432043964107 × 6371000     		do = 123.21853056744m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23901338--0.23896544) × cos(1.15551240) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.403449740174509 × 6371000     		du = 123.223935445598m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15553174)-sin(1.15551240))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.403432043964107-0.403449740174509)×R²
    abs(-0.23896544--0.23901338)×1.76962104020961e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.76962104020961e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.76962104020961e-05×40589641000000     		ar = 15182.721476302m²