Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60549 / 33045
↖ ↑ ↗
← N 66.208200°
W 13.697205°		 ← 123.21 m → N 66.208200°
W 13.694458°		 →
↑
123.22 m
↓
↑
123.22 m
↓
N 66.207092°
W 13.697205°		 ← 123.22 m →
15 182 m²		 N 66.207092°
W 13.694458°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60549 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33045 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461956024169922 y=0.252117156982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461956024169922 × 217)
    floor (0.461956024169922 × 131072)
    floor (60549.5)     		tx = 60549
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.252117156982422 × 217)
    floor (0.252117156982422 × 131072)
    floor (33045.5)     		ty = 33045
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60549 / 33045 ti = "17/60549/33045"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60549/33045.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60549 ÷ 217
    60549 ÷ 131072     		x = 0.461952209472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33045 ÷ 217
    33045 ÷ 131072     		y = 0.252113342285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461952209472656 × 2 - 1) × π
    -0.0760955810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23906132
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.252113342285156 × 2 - 1) × π
    0.495773315429688 × 3.1415926535     		Φ = 1.55751780555524
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23906132} λ = -0.23906132}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.55751780555524))-π/2
    2×atan(4.74702357359438)-π/2
    2×1.3631737040357-π/2
    2.72634740807139-1.57079632675     		φ = 1.15555108
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23906132} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.697205°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15555108 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.208200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60549 KachelY 33045 -0.23906132 1.15555108 -13.697205 66.208200
    Oben rechts KachelX + 1 60550 KachelY 33045 -0.23901338 1.15555108 -13.694458 66.208200
    Unten links KachelX 60549 KachelY + 1 33046 -0.23906132 1.15553174 -13.697205 66.207092
    Unten rechts KachelX + 1 60550 KachelY + 1 33046 -0.23901338 1.15553174 -13.694458 66.207092
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15555108-1.15553174) × R
    1.93399999999233e-05 × 6371000     		dl = 123.215139999511m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15555108-1.15553174) × R
    1.93399999999233e-05 × 6371000     		dr = 123.215139999511m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23906132--0.23901338) × cos(1.15555108) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.403414347602807 × 6371000     		do = 123.213125643195m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23906132--0.23901338) × cos(1.15553174) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.403432043964107 × 6371000     		du = 123.21853056744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15555108)-sin(1.15553174))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.403414347602807-0.403432043964107)×R²
    abs(-0.23901338--0.23906132)×1.76963613000014e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.76963613000014e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.76963613000014e-05×40589641000000     		ar = 15182.0555105212m²