Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60549 / 32988
↖ ↑ ↗
← N 66.271277°
W 13.697205°		 ← 122.91 m → N 66.271277°
W 13.694458°		 →
↑
122.90 m
↓
↑
122.90 m
↓
N 66.270172°
W 13.697205°		 ← 122.91 m →
15 105 m²		 N 66.270172°
W 13.694458°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60549 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32988 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461956024169922 y=0.251682281494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461956024169922 × 217)
    floor (0.461956024169922 × 131072)
    floor (60549.5)     		tx = 60549
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.251682281494141 × 217)
    floor (0.251682281494141 × 131072)
    floor (32988.5)     		ty = 32988
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60549 / 32988 ti = "17/60549/32988"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60549/32988.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60549 ÷ 217
    60549 ÷ 131072     		x = 0.461952209472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32988 ÷ 217
    32988 ÷ 131072     		y = 0.251678466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461952209472656 × 2 - 1) × π
    -0.0760955810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23906132
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.251678466796875 × 2 - 1) × π
    0.49664306640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.56025020883359
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23906132} λ = -0.23906132}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.56025020883359))-π/2
    2×atan(4.76001209322499)-π/2
    2×1.36372416085379-π/2
    2.72744832170758-1.57079632675     		φ = 1.15665199
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23906132} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.697205°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15665199 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.271277°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60549 KachelY 32988 -0.23906132 1.15665199 -13.697205 66.271277
    Oben rechts KachelX + 1 60550 KachelY 32988 -0.23901338 1.15665199 -13.694458 66.271277
    Unten links KachelX 60549 KachelY + 1 32989 -0.23906132 1.15663270 -13.697205 66.270172
    Unten rechts KachelX + 1 60550 KachelY + 1 32989 -0.23901338 1.15663270 -13.694458 66.270172
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15665199-1.15663270) × R
    1.92900000000051e-05 × 6371000     		dl = 122.896590000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15665199-1.15663270) × R
    1.92900000000051e-05 × 6371000     		dr = 122.896590000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23906132--0.23901338) × cos(1.15665199) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.402406751517676 × 6371000     		do = 122.905379863273m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23906132--0.23901338) × cos(1.15663270) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.402424410685115 × 6371000     		du = 122.910773427556m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15665199)-sin(1.15663270))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.402406751517676-0.402424410685115)×R²
    abs(-0.23901338--0.23906132)×1.76591674390658e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.76591674390658e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.76591674390658e-05×40589641000000     		ar = 15104.9835035913m²