Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60548 / 84123
↖ ↑ ↗
← S 45.388806°
W 13.699951°		 ← 214.50 m → S 45.388806°
W 13.697205°		 →
↑
214.51 m
↓
↑
214.51 m
↓
S 45.390735°
W 13.699951°		 ← 214.49 m →
46 012 m²		 S 45.390735°
W 13.697205°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60548 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84123 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461948394775391 y=0.641811370849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461948394775391 × 217)
    floor (0.461948394775391 × 131072)
    floor (60548.5)     		tx = 60548
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641811370849609 × 217)
    floor (0.641811370849609 × 131072)
    floor (84123.5)     		ty = 84123
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60548 / 84123 ti = "17/60548/84123"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60548/84123.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60548 ÷ 217
    60548 ÷ 131072     		x = 0.461944580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84123 ÷ 217
    84123 ÷ 131072     		y = 0.641807556152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461944580078125 × 2 - 1) × π
    -0.07611083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23910926
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641807556152344 × 2 - 1) × π
    -0.283615112304688 × 3.1415926535     		Φ = -0.891003153237984
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23910926} λ = -0.23910926}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.891003153237984))-π/2
    2×atan(0.410244008660014)-π/2
    2×0.389306106802041-π/2
    0.778612213604083-1.57079632675     		φ = -0.79218411
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23910926} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.699951°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79218411 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.388806°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60548 KachelY 84123 -0.23910926 -0.79218411 -13.699951 -45.388806
    Oben rechts KachelX + 1 60549 KachelY 84123 -0.23906132 -0.79218411 -13.697205 -45.388806
    Unten links KachelX 60548 KachelY + 1 84124 -0.23910926 -0.79221778 -13.699951 -45.390735
    Unten rechts KachelX + 1 60549 KachelY + 1 84124 -0.23906132 -0.79221778 -13.697205 -45.390735
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79218411--0.79221778) × R
    3.36699999999857e-05 × 6371000     		dl = 214.511569999909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79218411--0.79221778) × R
    3.36699999999857e-05 × 6371000     		dr = 214.511569999909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23910926--0.23906132) × cos(-0.79218411) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.702292148411107 × 6371000     		do = 214.498099124636m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23910926--0.23906132) × cos(-0.79221778) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.702268178715366 × 6371000     		du = 214.490778162576m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79218411)-sin(-0.79221778))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.702292148411107-0.702268178715366)×R²
    abs(-0.23906132--0.23910926)×2.3969695741699e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.3969695741699e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.3969695741699e-05×40589641000000     		ar = 46011.5387940911m²