Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60548 / 40564
↖ ↑ ↗
← N 56.383502°
W 13.699951°		 ← 169.09 m → N 56.383502°
W 13.697205°		 →
↑
169.09 m
↓
↑
169.09 m
↓
N 56.381981°
W 13.699951°		 ← 169.10 m →
28 592 m²		 N 56.381981°
W 13.697205°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60548 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40564 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461948394775391 y=0.309482574462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461948394775391 × 217)
    floor (0.461948394775391 × 131072)
    floor (60548.5)     		tx = 60548
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309482574462891 × 217)
    floor (0.309482574462891 × 131072)
    floor (40564.5)     		ty = 40564
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60548 / 40564 ti = "17/60548/40564"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60548/40564.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60548 ÷ 217
    60548 ÷ 131072     		x = 0.461944580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40564 ÷ 217
    40564 ÷ 131072     		y = 0.309478759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461944580078125 × 2 - 1) × π
    -0.07611083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23910926
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309478759765625 × 2 - 1) × π
    0.38104248046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.19708025731204
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23910926} λ = -0.23910926}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19708025731204))-π/2
    2×atan(3.31043717369304)-π/2
    2×1.27743703705831-π/2
    2.55487407411662-1.57079632675     		φ = 0.98407775
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23910926} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.699951°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98407775 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.383502°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60548 KachelY 40564 -0.23910926 0.98407775 -13.699951 56.383502
    Oben rechts KachelX + 1 60549 KachelY 40564 -0.23906132 0.98407775 -13.697205 56.383502
    Unten links KachelX 60548 KachelY + 1 40565 -0.23910926 0.98405121 -13.699951 56.381981
    Unten rechts KachelX + 1 60549 KachelY + 1 40565 -0.23906132 0.98405121 -13.697205 56.381981
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98407775-0.98405121) × R
    2.65400000000193e-05 × 6371000     		dl = 169.086340000123m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98407775-0.98405121) × R
    2.65400000000193e-05 × 6371000     		dr = 169.086340000123m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23910926--0.23906132) × cos(0.98407775) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.553631364407413 × 6371000     		do = 169.093269161331m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23910926--0.23906132) × cos(0.98405121) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.553653465712144 × 6371000     		du = 169.100019468683m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98407775)-sin(0.98405121))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553631364407413-0.553653465712144)×R²
    abs(-0.23906132--0.23910926)×2.21013047309038e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.21013047309038e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.21013047309038e-05×40589641000000     		ar = 28591.9326951487m²