Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60548 / 32986
↖ ↑ ↗
← N 66.273488°
W 13.699951°		 ← 122.89 m → N 66.273488°
W 13.697205°		 →
↑
122.90 m
↓
↑
122.90 m
↓
N 66.272383°
W 13.699951°		 ← 122.90 m →
15 104 m²		 N 66.272383°
W 13.697205°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60548 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32986 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461948394775391 y=0.251667022705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461948394775391 × 217)
    floor (0.461948394775391 × 131072)
    floor (60548.5)     		tx = 60548
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.251667022705078 × 217)
    floor (0.251667022705078 × 131072)
    floor (32986.5)     		ty = 32986
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60548 / 32986 ti = "17/60548/32986"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60548/32986.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60548 ÷ 217
    60548 ÷ 131072     		x = 0.461944580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32986 ÷ 217
    32986 ÷ 131072     		y = 0.251663208007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461944580078125 × 2 - 1) × π
    -0.07611083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23910926
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.251663208007812 × 2 - 1) × π
    0.496673583984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.56034608263283
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23910926} λ = -0.23910926}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.56034608263283))-π/2
    2×atan(4.760468475546)-π/2
    2×1.36374345013911-π/2
    2.72748690027823-1.57079632675     		φ = 1.15669057
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23910926} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.699951°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15669057 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.273488°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60548 KachelY 32986 -0.23910926 1.15669057 -13.699951 66.273488
    Oben rechts KachelX + 1 60549 KachelY 32986 -0.23906132 1.15669057 -13.697205 66.273488
    Unten links KachelX 60548 KachelY + 1 32987 -0.23910926 1.15667128 -13.699951 66.272383
    Unten rechts KachelX + 1 60549 KachelY + 1 32987 -0.23906132 1.15667128 -13.697205 66.272383
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15669057-1.15667128) × R
    1.92900000000051e-05 × 6371000     		dl = 122.896590000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15669057-1.15667128) × R
    1.92900000000051e-05 × 6371000     		dr = 122.896590000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23910926--0.23906132) × cos(1.15669057) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.402371432733593 × 6371000     		do = 122.894592597508m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23910926--0.23906132) × cos(1.15667128) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.4023890922005 × 6371000     		du = 122.899986253257m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15669057)-sin(1.15667128))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.402371432733593-0.4023890922005)×R²
    abs(-0.23906132--0.23910926)×1.76594669069052e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.76594669069052e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.76594669069052e-05×40589641000000     		ar = 15103.65779102m²