Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60547 / 84124
↖ ↑ ↗
← S 45.390735°
W 13.702698°		 ← 214.45 m → S 45.390735°
W 13.699951°		 →
↑
214.45 m
↓
↑
214.45 m
↓
S 45.392664°
W 13.702698°		 ← 214.44 m →
45 987 m²		 S 45.392664°
W 13.699951°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60547 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84124 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461940765380859 y=0.641819000244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461940765380859 × 217)
    floor (0.461940765380859 × 131072)
    floor (60547.5)     		tx = 60547
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641819000244141 × 217)
    floor (0.641819000244141 × 131072)
    floor (84124.5)     		ty = 84124
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60547 / 84124 ti = "17/60547/84124"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60547/84124.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60547 ÷ 217
    60547 ÷ 131072     		x = 0.461936950683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84124 ÷ 217
    84124 ÷ 131072     		y = 0.641815185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461936950683594 × 2 - 1) × π
    -0.0761260986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23915719
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641815185546875 × 2 - 1) × π
    -0.28363037109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.891051090137604
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23915719} λ = -0.23915719}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.891051090137604))-π/2
    2×atan(0.410224343305503)-π/2
    2×0.389289274235201-π/2
    0.778578548470403-1.57079632675     		φ = -0.79221778
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23915719} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.702698°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79221778 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.390735°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60547 KachelY 84124 -0.23915719 -0.79221778 -13.702698 -45.390735
    Oben rechts KachelX + 1 60548 KachelY 84124 -0.23910926 -0.79221778 -13.699951 -45.390735
    Unten links KachelX 60547 KachelY + 1 84125 -0.23915719 -0.79225144 -13.702698 -45.392664
    Unten rechts KachelX + 1 60548 KachelY + 1 84125 -0.23910926 -0.79225144 -13.699951 -45.392664
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79221778--0.79225144) × R
    3.36600000000464e-05 × 6371000     		dl = 214.447860000296m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79221778--0.79225144) × R
    3.36600000000464e-05 × 6371000     		dr = 214.447860000296m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23915719--0.23910926) × cos(-0.79221778) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.702268178715366 × 6371000     		do = 214.446036656934m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23915719--0.23910926) × cos(-0.79225144) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.702244215342846 × 6371000     		du = 214.438719152856m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79221778)-sin(-0.79225144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.702268178715366-0.702244215342846)×R²
    abs(-0.23910926--0.23915719)×2.3963372519975e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.3963372519975e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.3963372519975e-05×40589641000000     		ar = 45986.7090394504m²