Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60547 / 33042
↖ ↑ ↗
← N 66.211524°
W 13.702698°		 ← 123.17 m → N 66.211524°
W 13.699951°		 →
↑
123.15 m
↓
↑
123.15 m
↓
N 66.210416°
W 13.702698°		 ← 123.18 m →
15 169 m²		 N 66.210416°
W 13.699951°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60547 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33042 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461940765380859 y=0.252094268798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461940765380859 × 217)
    floor (0.461940765380859 × 131072)
    floor (60547.5)     		tx = 60547
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.252094268798828 × 217)
    floor (0.252094268798828 × 131072)
    floor (33042.5)     		ty = 33042
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60547 / 33042 ti = "17/60547/33042"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60547/33042.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60547 ÷ 217
    60547 ÷ 131072     		x = 0.461936950683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33042 ÷ 217
    33042 ÷ 131072     		y = 0.252090454101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461936950683594 × 2 - 1) × π
    -0.0761260986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23915719
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.252090454101562 × 2 - 1) × π
    0.495819091796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.5576616162541
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23915719} λ = -0.23915719}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5576616162541))-π/2
    2×atan(4.74770629546218)-π/2
    2×1.36320270977676-π/2
    2.72640541955352-1.57079632675     		φ = 1.15560909
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23915719} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.702698°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15560909 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.211524°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60547 KachelY 33042 -0.23915719 1.15560909 -13.702698 66.211524
    Oben rechts KachelX + 1 60548 KachelY 33042 -0.23910926 1.15560909 -13.699951 66.211524
    Unten links KachelX 60547 KachelY + 1 33043 -0.23915719 1.15558976 -13.702698 66.210416
    Unten rechts KachelX + 1 60548 KachelY + 1 33043 -0.23910926 1.15558976 -13.699951 66.210416
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15560909-1.15558976) × R
    1.93299999999841e-05 × 6371000     		dl = 123.151429999899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15560909-1.15558976) × R
    1.93299999999841e-05 × 6371000     		dr = 123.151429999899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23915719--0.23910926) × cos(1.15560909) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.403361266763993 × 6371000     		do = 123.171215242429m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23915719--0.23910926) × cos(1.15558976) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.403378954427539 × 6371000     		du = 123.176616383275m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15560909)-sin(1.15558976))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.403361266763993-0.403378954427539)×R²
    abs(-0.23910926--0.23915719)×1.76876635460399e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.76876635460399e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.76876635460399e-05×40589641000000     		ar = 15169.0438717077m²