Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60546 / 39993
↖ ↑ ↗
← N 57.241908°
W 13.705444°		 ← 165.26 m → N 57.241908°
W 13.702698°		 →
↑
165.26 m
↓
↑
165.26 m
↓
N 57.240421°
W 13.705444°		 ← 165.27 m →
27 313 m²		 N 57.240421°
W 13.702698°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60546 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39993 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461933135986328 y=0.305126190185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461933135986328 × 217)
    floor (0.461933135986328 × 131072)
    floor (60546.5)     		tx = 60546
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305126190185547 × 217)
    floor (0.305126190185547 × 131072)
    floor (39993.5)     		ty = 39993
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60546 / 39993 ti = "17/60546/39993"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60546/39993.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60546 ÷ 217
    60546 ÷ 131072     		x = 0.461929321289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39993 ÷ 217
    39993 ÷ 131072     		y = 0.305122375488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461929321289062 × 2 - 1) × π
    -0.076141357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23920513
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305122375488281 × 2 - 1) × π
    0.389755249023438 × 3.1415926535     		Φ = 1.22445222699509
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23920513} λ = -0.23920513}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22445222699509))-π/2
    2×atan(3.40230188313219)-π/2
    2×1.28492804189664-π/2
    2.56985608379328-1.57079632675     		φ = 0.99905976
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23920513} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.705444°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99905976 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.241908°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60546 KachelY 39993 -0.23920513 0.99905976 -13.705444 57.241908
    Oben rechts KachelX + 1 60547 KachelY 39993 -0.23915719 0.99905976 -13.702698 57.241908
    Unten links KachelX 60546 KachelY + 1 39994 -0.23920513 0.99903382 -13.705444 57.240421
    Unten rechts KachelX + 1 60547 KachelY + 1 39994 -0.23915719 0.99903382 -13.702698 57.240421
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99905976-0.99903382) × R
    2.59400000000021e-05 × 6371000     		dl = 165.263740000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99905976-0.99903382) × R
    2.59400000000021e-05 × 6371000     		dr = 165.263740000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23920513--0.23915719) × cos(0.99905976) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.541093251602872 × 6371000     		do = 165.263806779801m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23920513--0.23915719) × cos(0.99903382) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.541115065990644 × 6371000     		du = 165.270469455328m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99905976)-sin(0.99903382))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.541093251602872-0.541115065990644)×R²
    abs(-0.23915719--0.23920513)×2.18143877716015e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.18143877716015e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.18143877716015e-05×40589641000000     		ar = 27312.665345791m²