Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60544 / 83329
↖ ↑ ↗
← S 43.836508°
W 13.710937°		 ← 220.26 m → S 43.836508°
W 13.708191°		 →
↑
220.25 m
↓
↑
220.25 m
↓
S 43.838489°
W 13.710937°		 ← 220.26 m →
48 511 m²		 S 43.838489°
W 13.708191°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60544 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83329 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461917877197266 y=0.635753631591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461917877197266 × 217)
    floor (0.461917877197266 × 131072)
    floor (60544.5)     		tx = 60544
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635753631591797 × 217)
    floor (0.635753631591797 × 131072)
    floor (83329.5)     		ty = 83329
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60544 / 83329 ti = "17/60544/83329"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60544/83329.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60544 ÷ 217
    60544 ÷ 131072     		x = 0.4619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83329 ÷ 217
    83329 ÷ 131072     		y = 0.635749816894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4619140625 × 2 - 1) × π
    -0.076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23930100
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635749816894531 × 2 - 1) × π
    -0.271499633789062 × 3.1415926535     		Φ = -0.852941254939659
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23930100} λ = -0.23930100}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.852941254939659))-π/2
    2×atan(0.42615964263675)-π/2
    2×0.402852465017743-π/2
    0.805704930035486-1.57079632675     		φ = -0.76509140
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23930100} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.710937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76509140 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.836508°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60544 KachelY 83329 -0.23930100 -0.76509140 -13.710937 -43.836508
    Oben rechts KachelX + 1 60545 KachelY 83329 -0.23925307 -0.76509140 -13.708191 -43.836508
    Unten links KachelX 60544 KachelY + 1 83330 -0.23930100 -0.76512597 -13.710937 -43.838489
    Unten rechts KachelX + 1 60545 KachelY + 1 83330 -0.23925307 -0.76512597 -13.708191 -43.838489
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76509140--0.76512597) × R
    3.4570000000067e-05 × 6371000     		dl = 220.245470000427m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76509140--0.76512597) × R
    3.4570000000067e-05 × 6371000     		dr = 220.245470000427m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23930100--0.23925307) × cos(-0.76509140) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.721319056541826 × 6371000     		do = 220.263451383304m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23930100--0.23925307) × cos(-0.76512597) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.721295112827521 × 6371000     		du = 220.256139882098m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76509140)-sin(-0.76512597))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.721319056541826-0.721295112827521)×R²
    abs(-0.23925307--0.23930100)×2.39437143048082e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39437143048082e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39437143048082e-05×40589641000000     		ar = 48511.2222161789m²