Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60544 / 34176
↖ ↑ ↗
← N 64.923542°
W 13.710937°		 ← 129.42 m → N 64.923542°
W 13.708191°		 →
↑
129.46 m
↓
↑
129.46 m
↓
N 64.922378°
W 13.710937°		 ← 129.43 m →
16 755 m²		 N 64.922378°
W 13.708191°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60544 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34176 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461917877197266 y=0.260746002197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461917877197266 × 217)
    floor (0.461917877197266 × 131072)
    floor (60544.5)     		tx = 60544
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260746002197266 × 217)
    floor (0.260746002197266 × 131072)
    floor (34176.5)     		ty = 34176
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60544 / 34176 ti = "17/60544/34176"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60544/34176.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60544 ÷ 217
    60544 ÷ 131072     		x = 0.4619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34176 ÷ 217
    34176 ÷ 131072     		y = 0.2607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4619140625 × 2 - 1) × π
    -0.076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23930100
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2607421875 × 2 - 1) × π
    0.478515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.50330117208496
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23930100} λ = -0.23930100}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50330117208496))-π/2
    2×atan(4.49650834421912)-π/2
    2×1.35196294612457-π/2
    2.70392589224915-1.57079632675     		φ = 1.13312957
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23930100} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.710937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13312957 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.923542°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60544 KachelY 34176 -0.23930100 1.13312957 -13.710937 64.923542
    Oben rechts KachelX + 1 60545 KachelY 34176 -0.23925307 1.13312957 -13.708191 64.923542
    Unten links KachelX 60544 KachelY + 1 34177 -0.23930100 1.13310925 -13.710937 64.922378
    Unten rechts KachelX + 1 60545 KachelY + 1 34177 -0.23925307 1.13310925 -13.708191 64.922378
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13312957-1.13310925) × R
    2.03199999999626e-05 × 6371000     		dl = 129.458719999762m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13312957-1.13310925) × R
    2.03199999999626e-05 × 6371000     		dr = 129.458719999762m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23930100--0.23925307) × cos(1.13312957) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.423827301899101 × 6371000     		do = 129.420765277337m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23930100--0.23925307) × cos(1.13310925) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.423845706509765 × 6371000     		du = 129.42638534661m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13312957)-sin(1.13310925))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.423827301899101-0.423845706509765)×R²
    abs(-0.23925307--0.23930100)×1.84046106641578e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.84046106641578e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.84046106641578e-05×40589641000000     		ar = 16755.0103982774m²