Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 60544 / 13951
↖ ↑ ↗
← N 71.302554°
E152.578125°		 ← 195.80 m → N 71.302554°
E152.583618°		 →
↑
195.78 m
↓
↑
195.78 m
↓
N 71.300793°
E152.578125°		 ← 195.82 m →
38 336 m²		 N 71.300793°
E152.583618°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60544 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13951 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.923835754394531 y=0.212882995605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.923835754394531 × 216)
    floor (0.923835754394531 × 65536)
    floor (60544.5)     		tx = 60544
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.212882995605469 × 216)
    floor (0.212882995605469 × 65536)
    floor (13951.5)     		ty = 13951
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60544 / 13951 ti = "16/60544/13951"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60544/13951.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60544 ÷ 216
    60544 ÷ 65536     		x = 0.923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13951 ÷ 216
    13951 ÷ 65536     		y = 0.212875366210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.923828125 × 2 - 1) × π
    0.84765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.66299065
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.212875366210938 × 2 - 1) × π
    0.574249267578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.80405728030119
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.66299065} λ = 2.66299065}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.80405728030119))-π/2
    2×atan(6.07424244051628)-π/2
    2×1.40763032909243-π/2
    2.81526065818486-1.57079632675     		φ = 1.24446433
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.66299065} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 152.578125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24446433 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.302554°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60544 KachelY 13951 2.66299065 1.24446433 152.578125 71.302554
    Oben rechts KachelX + 1 60545 KachelY 13951 2.66308652 1.24446433 152.583618 71.302554
    Unten links KachelX 60544 KachelY + 1 13952 2.66299065 1.24443360 152.578125 71.300793
    Unten rechts KachelX + 1 60545 KachelY + 1 13952 2.66308652 1.24443360 152.583618 71.300793
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24446433-1.24443360) × R
    3.07299999999788e-05 × 6371000     		dl = 195.780829999865m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24446433-1.24443360) × R
    3.07299999999788e-05 × 6371000     		dr = 195.780829999865m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.66299065-2.66308652) × cos(1.24446433) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.320570769952761 × 6371000     		do = 195.800705706625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.66299065-2.66308652) × cos(1.24443360) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.320599878012355 × 6371000     		du = 195.818484553434m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24446433)-sin(1.24443360))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.320570769952761-0.320599878012355)×R²
    abs(2.66308652-2.66299065)×2.91080595947735e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.91080595947735e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.91080595947735e-05×40589641000000     		ar = 38335.7650594092m²