Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60543 / 84173
↖ ↑ ↗
← S 45.485169°
W 13.713684°		 ← 214.13 m → S 45.485169°
W 13.710937°		 →
↑
214.13 m
↓
↑
214.13 m
↓
S 45.487095°
W 13.713684°		 ← 214.12 m →
45 851 m²		 S 45.487095°
W 13.710937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60543 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84173 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461910247802734 y=0.642192840576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461910247802734 × 217)
    floor (0.461910247802734 × 131072)
    floor (60543.5)     		tx = 60543
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642192840576172 × 217)
    floor (0.642192840576172 × 131072)
    floor (84173.5)     		ty = 84173
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60543 / 84173 ti = "17/60543/84173"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60543/84173.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60543 ÷ 217
    60543 ÷ 131072     		x = 0.461906433105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84173 ÷ 217
    84173 ÷ 131072     		y = 0.642189025878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461906433105469 × 2 - 1) × π
    -0.0761871337890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23934894
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642189025878906 × 2 - 1) × π
    -0.284378051757812 × 3.1415926535     		Φ = -0.893399998218987
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23934894} λ = -0.23934894}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.893399998218987))-π/2
    2×atan(0.409261894824355)-π/2
    2×0.388465182129693-π/2
    0.776930364259386-1.57079632675     		φ = -0.79386596
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23934894} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.713684°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79386596 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.485169°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60543 KachelY 84173 -0.23934894 -0.79386596 -13.713684 -45.485169
    Oben rechts KachelX + 1 60544 KachelY 84173 -0.23930100 -0.79386596 -13.710937 -45.485169
    Unten links KachelX 60543 KachelY + 1 84174 -0.23934894 -0.79389957 -13.713684 -45.487095
    Unten rechts KachelX + 1 60544 KachelY + 1 84174 -0.23930100 -0.79389957 -13.710937 -45.487095
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79386596--0.79389957) × R
    3.36100000000172e-05 × 6371000     		dl = 214.12931000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79386596--0.79389957) × R
    3.36100000000172e-05 × 6371000     		dr = 214.12931000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23934894--0.23930100) × cos(-0.79386596) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.701093865450645 × 6371000     		do = 214.132112664707m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23934894--0.23930100) × cos(-0.79389957) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.701069898805734 × 6371000     		du = 214.12479263445m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79386596)-sin(-0.79389957))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.701093865450645-0.701069898805734)×R²
    abs(-0.23930100--0.23934894)×2.39666449111109e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39666449111109e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39666449111109e-05×40589641000000     		ar = 45851.1778215495m²