Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60542 / 40028
↖ ↑ ↗
← N 57.189855°
W 13.716431°		 ← 165.50 m → N 57.189855°
W 13.713684°		 →
↑
165.45 m
↓
↑
165.45 m
↓
N 57.188367°
W 13.716431°		 ← 165.50 m →
27 383 m²		 N 57.188367°
W 13.713684°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60542 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40028 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461902618408203 y=0.305393218994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461902618408203 × 217)
    floor (0.461902618408203 × 131072)
    floor (60542.5)     		tx = 60542
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305393218994141 × 217)
    floor (0.305393218994141 × 131072)
    floor (40028.5)     		ty = 40028
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60542 / 40028 ti = "17/60542/40028"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60542/40028.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60542 ÷ 217
    60542 ÷ 131072     		x = 0.461898803710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40028 ÷ 217
    40028 ÷ 131072     		y = 0.305389404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461898803710938 × 2 - 1) × π
    -0.076202392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23939688
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305389404296875 × 2 - 1) × π
    0.38922119140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.22277443550839
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23939688} λ = -0.23939688}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22277443550839))-π/2
    2×atan(3.39659831603359)-π/2
    2×1.28447380074876-π/2
    2.56894760149751-1.57079632675     		φ = 0.99815127
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23939688} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.716431°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99815127 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.189855°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60542 KachelY 40028 -0.23939688 0.99815127 -13.716431 57.189855
    Oben rechts KachelX + 1 60543 KachelY 40028 -0.23934894 0.99815127 -13.713684 57.189855
    Unten links KachelX 60542 KachelY + 1 40029 -0.23939688 0.99812530 -13.716431 57.188367
    Unten rechts KachelX + 1 60543 KachelY + 1 40029 -0.23934894 0.99812530 -13.713684 57.188367
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99815127-0.99812530) × R
    2.59700000000418e-05 × 6371000     		dl = 165.454870000266m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99815127-0.99812530) × R
    2.59700000000418e-05 × 6371000     		dr = 165.454870000266m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23939688--0.23934894) × cos(0.99815127) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.541857034312678 × 6371000     		do = 165.497085679142m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23939688--0.23934894) × cos(0.99812530) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.541878861153362 × 6371000     		du = 165.50375215811m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99815127)-sin(0.99812530))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.541857034312678-0.541878861153362)×R²
    abs(-0.23934894--0.23939688)×2.18268406839695e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.18268406839695e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.18268406839695e-05×40589641000000     		ar = 27382.8502987554m²