Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60541 / 84177
↖ ↑ ↗
← S 45.492871°
W 13.719177°		 ← 214.06 m → S 45.492871°
W 13.716431°		 →
↑
214.07 m
↓
↑
214.07 m
↓
S 45.494796°
W 13.719177°		 ← 214.05 m →
45 822 m²		 S 45.494796°
W 13.716431°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60541 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84177 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461894989013672 y=0.642223358154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461894989013672 × 217)
    floor (0.461894989013672 × 131072)
    floor (60541.5)     		tx = 60541
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642223358154297 × 217)
    floor (0.642223358154297 × 131072)
    floor (84177.5)     		ty = 84177
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60541 / 84177 ti = "17/60541/84177"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60541/84177.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60541 ÷ 217
    60541 ÷ 131072     		x = 0.461891174316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84177 ÷ 217
    84177 ÷ 131072     		y = 0.642219543457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461891174316406 × 2 - 1) × π
    -0.0762176513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23944481
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642219543457031 × 2 - 1) × π
    -0.284439086914062 × 3.1415926535     		Φ = -0.893591745817467
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23944481} λ = -0.23944481}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.893591745817467))-π/2
    2×atan(0.409183427362088)-π/2
    2×0.388397970192588-π/2
    0.776795940385177-1.57079632675     		φ = -0.79400039
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23944481} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.719177°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79400039 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.492871°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60541 KachelY 84177 -0.23944481 -0.79400039 -13.719177 -45.492871
    Oben rechts KachelX + 1 60542 KachelY 84177 -0.23939688 -0.79400039 -13.716431 -45.492871
    Unten links KachelX 60541 KachelY + 1 84178 -0.23944481 -0.79403399 -13.719177 -45.494796
    Unten rechts KachelX + 1 60542 KachelY + 1 84178 -0.23939688 -0.79403399 -13.716431 -45.494796
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79400039--0.79403399) × R
    3.3599999999967e-05 × 6371000     		dl = 214.06559999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79400039--0.79403399) × R
    3.3599999999967e-05 × 6371000     		dr = 214.06559999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23944481--0.23939688) × cos(-0.79400039) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.700998001251035 × 6371000     		do = 214.058172687966m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23944481--0.23939688) × cos(-0.79403399) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.700974038570585 × 6371000     		du = 214.050855395219m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79400039)-sin(-0.79403399))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.700998001251035-0.700974038570585)×R²
    abs(-0.23939688--0.23944481)×2.3962680449352e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.3962680449352e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.3962680449352e-05×40589641000000     		ar = 45821.7079851725m²