Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60541 / 84176
↖ ↑ ↗
← S 45.490946°
W 13.719177°		 ← 214.07 m → S 45.490946°
W 13.716431°		 →
↑
214.13 m
↓
↑
214.13 m
↓
S 45.492871°
W 13.719177°		 ← 214.06 m →
45 837 m²		 S 45.492871°
W 13.716431°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60541 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84176 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461894989013672 y=0.642215728759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461894989013672 × 217)
    floor (0.461894989013672 × 131072)
    floor (60541.5)     		tx = 60541
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642215728759766 × 217)
    floor (0.642215728759766 × 131072)
    floor (84176.5)     		ty = 84176
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60541 / 84176 ti = "17/60541/84176"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60541/84176.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60541 ÷ 217
    60541 ÷ 131072     		x = 0.461891174316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84176 ÷ 217
    84176 ÷ 131072     		y = 0.6422119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461891174316406 × 2 - 1) × π
    -0.0762176513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23944481
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6422119140625 × 2 - 1) × π
    -0.284423828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.893543808917847
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23944481} λ = -0.23944481}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.893543808917847))-π/2
    2×atan(0.40920304281712)-π/2
    2×0.388414772315261-π/2
    0.776829544630521-1.57079632675     		φ = -0.79396678
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23944481} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.719177°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79396678 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.490946°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60541 KachelY 84176 -0.23944481 -0.79396678 -13.719177 -45.490946
    Oben rechts KachelX + 1 60542 KachelY 84176 -0.23939688 -0.79396678 -13.716431 -45.490946
    Unten links KachelX 60541 KachelY + 1 84177 -0.23944481 -0.79400039 -13.719177 -45.492871
    Unten rechts KachelX + 1 60542 KachelY + 1 84177 -0.23939688 -0.79400039 -13.716431 -45.492871
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79396678--0.79400039) × R
    3.36100000000172e-05 × 6371000     		dl = 214.12931000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79396678--0.79400039) × R
    3.36100000000172e-05 × 6371000     		dr = 214.12931000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23944481--0.23939688) × cos(-0.79396678) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.701021970271482 × 6371000     		do = 214.065491916706m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23944481--0.23939688) × cos(-0.79400039) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.700998001251035 × 6371000     		du = 214.058172687966m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79396678)-sin(-0.79400039))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.701021970271482-0.700998001251035)×R²
    abs(-0.23939688--0.23944481)×2.39690204475451e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39690204475451e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39690204475451e-05×40589641000000     		ar = 45836.9124526864m²