Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60541 / 40027
↖ ↑ ↗
← N 57.191344°
W 13.719177°		 ← 165.46 m → N 57.191344°
W 13.716431°		 →
↑
165.52 m
↓
↑
165.52 m
↓
N 57.189855°
W 13.719177°		 ← 165.46 m →
27 387 m²		 N 57.189855°
W 13.716431°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60541 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40027 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461894989013672 y=0.305385589599609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461894989013672 × 217)
    floor (0.461894989013672 × 131072)
    floor (60541.5)     		tx = 60541
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305385589599609 × 217)
    floor (0.305385589599609 × 131072)
    floor (40027.5)     		ty = 40027
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60541 / 40027 ti = "17/60541/40027"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60541/40027.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60541 ÷ 217
    60541 ÷ 131072     		x = 0.461891174316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40027 ÷ 217
    40027 ÷ 131072     		y = 0.305381774902344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461891174316406 × 2 - 1) × π
    -0.0762176513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23944481
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305381774902344 × 2 - 1) × π
    0.389236450195312 × 3.1415926535     		Φ = 1.22282237240801
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23944481} λ = -0.23944481}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22282237240801))-π/2
    2×atan(3.39676114232878)-π/2
    2×1.28448678796016-π/2
    2.56897357592033-1.57079632675     		φ = 0.99817725
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23944481} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.719177°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99817725 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.191344°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60541 KachelY 40027 -0.23944481 0.99817725 -13.719177 57.191344
    Oben rechts KachelX + 1 60542 KachelY 40027 -0.23939688 0.99817725 -13.716431 57.191344
    Unten links KachelX 60541 KachelY + 1 40028 -0.23944481 0.99815127 -13.719177 57.189855
    Unten rechts KachelX + 1 60542 KachelY + 1 40028 -0.23939688 0.99815127 -13.716431 57.189855
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99817725-0.99815127) × R
    2.5979999999981e-05 × 6371000     		dl = 165.518579999879m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99817725-0.99815127) × R
    2.5979999999981e-05 × 6371000     		dr = 165.518579999879m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23944481--0.23939688) × cos(0.99817725) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.541835198701696 × 6371000     		do = 165.455896201009m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23944481--0.23939688) × cos(0.99815127) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.541857034312678 × 6371000     		du = 165.462563967505m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99817725)-sin(0.99815127))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.541835198701696-0.541857034312678)×R²
    abs(-0.23939688--0.23944481)×2.18356109820128e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.18356109820128e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.18356109820128e-05×40589641000000     		ar = 27386.5768130058m²