Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60540 / 85501
↖ ↑ ↗
← S 47.984407°
W 13.721924°		 ← 204.43 m → S 47.984407°
W 13.719177°		 →
↑
204.38 m
↓
↑
204.38 m
↓
S 47.986245°
W 13.721924°		 ← 204.42 m →
41 781 m²		 S 47.986245°
W 13.719177°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60540 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85501 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461887359619141 y=0.652324676513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461887359619141 × 217)
    floor (0.461887359619141 × 131072)
    floor (60540.5)     		tx = 60540
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652324676513672 × 217)
    floor (0.652324676513672 × 131072)
    floor (85501.5)     		ty = 85501
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60540 / 85501 ti = "17/60540/85501"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60540/85501.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60540 ÷ 217
    60540 ÷ 131072     		x = 0.461883544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85501 ÷ 217
    85501 ÷ 131072     		y = 0.652320861816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461883544921875 × 2 - 1) × π
    -0.07623291015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23949275
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652320861816406 × 2 - 1) × π
    -0.304641723632812 × 3.1415926535     		Φ = -0.957060200914421
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23949275} λ = -0.23949275}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.957060200914421))-π/2
    2×atan(0.384020170314039)-π/2
    2×0.366655219011205-π/2
    0.73331043802241-1.57079632675     		φ = -0.83748589
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23949275} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.721924°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83748589 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.984407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60540 KachelY 85501 -0.23949275 -0.83748589 -13.721924 -47.984407
    Oben rechts KachelX + 1 60541 KachelY 85501 -0.23944481 -0.83748589 -13.719177 -47.984407
    Unten links KachelX 60540 KachelY + 1 85502 -0.23949275 -0.83751797 -13.721924 -47.986245
    Unten rechts KachelX + 1 60541 KachelY + 1 85502 -0.23944481 -0.83751797 -13.719177 -47.986245
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83748589--0.83751797) × R
    3.20799999999899e-05 × 6371000     		dl = 204.381679999936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83748589--0.83751797) × R
    3.20799999999899e-05 × 6371000     		dr = 204.381679999936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23949275--0.23944481) × cos(-0.83748589) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.66933282915205 × 6371000     		do = 204.431474650043m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23949275--0.23944481) × cos(-0.83751797) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.669308994564435 × 6371000     		du = 204.424194953483m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83748589)-sin(-0.83751797))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.66933282915205-0.669308994564435)×R²
    abs(-0.23944481--0.23949275)×2.38345876150126e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.38345876150126e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.38345876150126e-05×40589641000000     		ar = 41781.3043190928m²