Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60539 / 84105
↖ ↑ ↗
← S 45.354075°
W 13.724671°		 ← 214.63 m → S 45.354075°
W 13.721924°		 →
↑
214.64 m
↓
↑
214.64 m
↓
S 45.356005°
W 13.724671°		 ← 214.62 m →
46 067 m²		 S 45.356005°
W 13.721924°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60539 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84105 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461879730224609 y=0.641674041748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461879730224609 × 217)
    floor (0.461879730224609 × 131072)
    floor (60539.5)     		tx = 60539
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641674041748047 × 217)
    floor (0.641674041748047 × 131072)
    floor (84105.5)     		ty = 84105
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60539 / 84105 ti = "17/60539/84105"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60539/84105.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60539 ÷ 217
    60539 ÷ 131072     		x = 0.461875915527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84105 ÷ 217
    84105 ÷ 131072     		y = 0.641670227050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461875915527344 × 2 - 1) × π
    -0.0762481689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23954069
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641670227050781 × 2 - 1) × π
    -0.283340454101562 × 3.1415926535     		Φ = -0.890140289044823
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23954069} λ = -0.23954069}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.890140289044823))-π/2
    2×atan(0.410598146289913)-π/2
    2×0.389609191233817-π/2
    0.779218382467634-1.57079632675     		φ = -0.79157794
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23954069} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.724671°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79157794 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.354075°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60539 KachelY 84105 -0.23954069 -0.79157794 -13.724671 -45.354075
    Oben rechts KachelX + 1 60540 KachelY 84105 -0.23949275 -0.79157794 -13.721924 -45.354075
    Unten links KachelX 60539 KachelY + 1 84106 -0.23954069 -0.79161163 -13.724671 -45.356005
    Unten rechts KachelX + 1 60540 KachelY + 1 84106 -0.23949275 -0.79161163 -13.721924 -45.356005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79157794--0.79161163) × R
    3.36899999999751e-05 × 6371000     		dl = 214.638989999842m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79157794--0.79161163) × R
    3.36899999999751e-05 × 6371000     		dr = 214.638989999842m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23954069--0.23949275) × cos(-0.79157794) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.70272354502455 × 6371000     		do = 214.62985875453m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23954069--0.23949275) × cos(-0.79161163) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.702699575436836 × 6371000     		du = 214.622537825465m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79157794)-sin(-0.79161163))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.70272354502455-0.702699575436836)×R²
    abs(-0.23949275--0.23954069)×2.39695877141122e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39695877141122e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39695877141122e-05×40589641000000     		ar = 46067.150432876m²