Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60539 / 33663
↖ ↑ ↗
← N 65.514101°
W 13.724671°		 ← 126.59 m → N 65.514101°
W 13.721924°		 →
↑
126.59 m
↓
↑
126.59 m
↓
N 65.512963°
W 13.724671°		 ← 126.60 m →
16 026 m²		 N 65.512963°
W 13.721924°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60539 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33663 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461879730224609 y=0.256832122802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461879730224609 × 217)
    floor (0.461879730224609 × 131072)
    floor (60539.5)     		tx = 60539
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.256832122802734 × 217)
    floor (0.256832122802734 × 131072)
    floor (33663.5)     		ty = 33663
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60539 / 33663 ti = "17/60539/33663"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60539/33663.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60539 ÷ 217
    60539 ÷ 131072     		x = 0.461875915527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33663 ÷ 217
    33663 ÷ 131072     		y = 0.256828308105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461875915527344 × 2 - 1) × π
    -0.0762481689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23954069
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.256828308105469 × 2 - 1) × π
    0.486343383789062 × 3.1415926535     		Φ = 1.52789280159005
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23954069} λ = -0.23954069}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52789280159005))-π/2
    2×atan(4.608455653256)-π/2
    2×1.35711654743663-π/2
    2.71423309487327-1.57079632675     		φ = 1.14343677
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23954069} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.724671°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14343677 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.514101°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60539 KachelY 33663 -0.23954069 1.14343677 -13.724671 65.514101
    Oben rechts KachelX + 1 60540 KachelY 33663 -0.23949275 1.14343677 -13.721924 65.514101
    Unten links KachelX 60539 KachelY + 1 33664 -0.23954069 1.14341690 -13.724671 65.512963
    Unten rechts KachelX + 1 60540 KachelY + 1 33664 -0.23949275 1.14341690 -13.721924 65.512963
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14343677-1.14341690) × R
    1.98700000000329e-05 × 6371000     		dl = 126.59177000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14343677-1.14341690) × R
    1.98700000000329e-05 × 6371000     		dr = 126.59177000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23954069--0.23949275) × cos(1.14343677) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.414469279582336 × 6371000     		do = 126.589586423692m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23954069--0.23949275) × cos(1.14341690) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.414487362458354 × 6371000     		du = 126.595109399481m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14343677)-sin(1.14341690))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.414469279582336-0.414487362458354)×R²
    abs(-0.23949275--0.23954069)×1.80828760186214e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.80828760186214e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.80828760186214e-05×40589641000000     		ar = 16025.549391044m²