Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60538 / 40590
↖ ↑ ↗
← N 56.343946°
W 13.727417°		 ← 169.23 m → N 56.343946°
W 13.724671°		 →
↑
169.28 m
↓
↑
169.28 m
↓
N 56.342424°
W 13.727417°		 ← 169.24 m →
28 648 m²		 N 56.342424°
W 13.724671°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60538 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40590 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461872100830078 y=0.309680938720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461872100830078 × 217)
    floor (0.461872100830078 × 131072)
    floor (60538.5)     		tx = 60538
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309680938720703 × 217)
    floor (0.309680938720703 × 131072)
    floor (40590.5)     		ty = 40590
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60538 / 40590 ti = "17/60538/40590"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60538/40590.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60538 ÷ 217
    60538 ÷ 131072     		x = 0.461868286132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40590 ÷ 217
    40590 ÷ 131072     		y = 0.309677124023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461868286132812 × 2 - 1) × π
    -0.076263427734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23958862
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309677124023438 × 2 - 1) × π
    0.380645751953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.19583389792192
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23958862} λ = -0.23958862}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19583389792192))-π/2
    2×atan(3.30631374940427)-π/2
    2×1.27709184615009-π/2
    2.55418369230019-1.57079632675     		φ = 0.98338737
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23958862} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.727417°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98338737 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.343946°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60538 KachelY 40590 -0.23958862 0.98338737 -13.727417 56.343946
    Oben rechts KachelX + 1 60539 KachelY 40590 -0.23954069 0.98338737 -13.724671 56.343946
    Unten links KachelX 60538 KachelY + 1 40591 -0.23958862 0.98336080 -13.727417 56.342424
    Unten rechts KachelX + 1 60539 KachelY + 1 40591 -0.23954069 0.98336080 -13.724671 56.342424
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98338737-0.98336080) × R
    2.6569999999948e-05 × 6371000     		dl = 169.277469999669m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98338737-0.98336080) × R
    2.6569999999948e-05 × 6371000     		dr = 169.277469999669m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23958862--0.23954069) × cos(0.98338737) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.55420615455621 × 6371000     		do = 169.233516393784m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23958862--0.23954069) × cos(0.98336080) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.554228270682401 × 6371000     		du = 169.240269818973m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98338737)-sin(0.98336080))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.55420615455621-0.554228270682401)×R²
    abs(-0.23954069--0.23958862)×2.2116126190741e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.2116126190741e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.2116126190741e-05×40589641000000     		ar = 28647.9930974474m²