Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60537 / 83065
↖ ↑ ↗
← S 43.311190°
W 13.730164°		 ← 222.24 m → S 43.311190°
W 13.727417°		 →
↑
222.22 m
↓
↑
222.22 m
↓
S 43.313188°
W 13.730164°		 ← 222.23 m →
49 385 m²		 S 43.313188°
W 13.727417°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60537 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83065 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461864471435547 y=0.633739471435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461864471435547 × 217)
    floor (0.461864471435547 × 131072)
    floor (60537.5)     		tx = 60537
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633739471435547 × 217)
    floor (0.633739471435547 × 131072)
    floor (83065.5)     		ty = 83065
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60537 / 83065 ti = "17/60537/83065"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60537/83065.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60537 ÷ 217
    60537 ÷ 131072     		x = 0.461860656738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83065 ÷ 217
    83065 ÷ 131072     		y = 0.633735656738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461860656738281 × 2 - 1) × π
    -0.0762786865234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23963656
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633735656738281 × 2 - 1) × π
    -0.267471313476562 × 3.1415926535     		Φ = -0.840285913439964
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23963656} λ = -0.23963656}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.840285913439964))-π/2
    2×atan(0.431587109231987)-π/2
    2×0.407436732211277-π/2
    0.814873464422554-1.57079632675     		φ = -0.75592286
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23963656} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.730164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75592286 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.311190°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60537 KachelY 83065 -0.23963656 -0.75592286 -13.730164 -43.311190
    Oben rechts KachelX + 1 60538 KachelY 83065 -0.23958862 -0.75592286 -13.727417 -43.311190
    Unten links KachelX 60537 KachelY + 1 83066 -0.23963656 -0.75595774 -13.730164 -43.313188
    Unten rechts KachelX + 1 60538 KachelY + 1 83066 -0.23958862 -0.75595774 -13.727417 -43.313188
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75592286--0.75595774) × R
    3.48800000000704e-05 × 6371000     		dl = 222.220480000449m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75592286--0.75595774) × R
    3.48800000000704e-05 × 6371000     		dr = 222.220480000449m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23963656--0.23958862) × cos(-0.75592286) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.727638807647998 × 6371000     		do = 222.23962127859m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23963656--0.23958862) × cos(-0.75595774) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.727614880904202 × 6371000     		du = 222.232313435161m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75592286)-sin(-0.75595774))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.727638807647998-0.727614880904202)×R²
    abs(-0.23958862--0.23963656)×2.39267437963653e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39267437963653e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39267437963653e-05×40589641000000     		ar = 49385.3833445105m²