Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60537 / 40137
↖ ↑ ↗
← N 57.027279°
W 13.730164°		 ← 166.22 m → N 57.027279°
W 13.727417°		 →
↑
166.22 m
↓
↑
166.22 m
↓
N 57.025784°
W 13.730164°		 ← 166.23 m →
27 630 m²		 N 57.025784°
W 13.727417°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60537 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40137 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461864471435547 y=0.306224822998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461864471435547 × 217)
    floor (0.461864471435547 × 131072)
    floor (60537.5)     		tx = 60537
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306224822998047 × 217)
    floor (0.306224822998047 × 131072)
    floor (40137.5)     		ty = 40137
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60537 / 40137 ti = "17/60537/40137"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60537/40137.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60537 ÷ 217
    60537 ÷ 131072     		x = 0.461860656738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40137 ÷ 217
    40137 ÷ 131072     		y = 0.306221008300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461860656738281 × 2 - 1) × π
    -0.0762786865234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23963656
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306221008300781 × 2 - 1) × π
    0.387557983398438 × 3.1415926535     		Φ = 1.21754931344981
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23963656} λ = -0.23963656}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21754931344981))-π/2
    2×atan(3.378896961391)-π/2
    2×1.28305505511085-π/2
    2.56611011022169-1.57079632675     		φ = 0.99531378
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23963656} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.730164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99531378 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.027279°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60537 KachelY 40137 -0.23963656 0.99531378 -13.730164 57.027279
    Oben rechts KachelX + 1 60538 KachelY 40137 -0.23958862 0.99531378 -13.727417 57.027279
    Unten links KachelX 60537 KachelY + 1 40138 -0.23963656 0.99528769 -13.730164 57.025784
    Unten rechts KachelX + 1 60538 KachelY + 1 40138 -0.23958862 0.99528769 -13.727417 57.025784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99531378-0.99528769) × R
    2.60900000000897e-05 × 6371000     		dl = 166.219390000571m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99531378-0.99528769) × R
    2.60900000000897e-05 × 6371000     		dr = 166.219390000571m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23963656--0.23958862) × cos(0.99531378) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.544239676907415 × 6371000     		do = 166.224806056795m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23963656--0.23958862) × cos(0.99528769) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.544261564400117 × 6371000     		du = 166.231491060451m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99531378)-sin(0.99528769))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.544239676907415-0.544261564400117)×R²
    abs(-0.23958862--0.23963656)×2.18874927027102e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.18874927027102e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.18874927027102e-05×40589641000000     		ar = 27630.341455973m²