Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60536 / 82068
↖ ↑ ↗
← S 41.286062°
W 13.732910°		 ← 229.50 m → S 41.286062°
W 13.730164°		 →
↑
229.48 m
↓
↑
229.48 m
↓
S 41.288126°
W 13.732910°		 ← 229.50 m →
52 667 m²		 S 41.288126°
W 13.730164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60536 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82068 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461856842041016 y=0.626132965087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461856842041016 × 217)
    floor (0.461856842041016 × 131072)
    floor (60536.5)     		tx = 60536
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626132965087891 × 217)
    floor (0.626132965087891 × 131072)
    floor (82068.5)     		ty = 82068
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60536 / 82068 ti = "17/60536/82068"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60536/82068.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60536 ÷ 217
    60536 ÷ 131072     		x = 0.46185302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82068 ÷ 217
    82068 ÷ 131072     		y = 0.626129150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46185302734375 × 2 - 1) × π
    -0.0762939453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23968450
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626129150390625 × 2 - 1) × π
    -0.25225830078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.792492824518768
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23968450} λ = -0.23968450}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.792492824518768))-π/2
    2×atan(0.452714848813232)-π/2
    2×0.425109301483141-π/2
    0.850218602966282-1.57079632675     		φ = -0.72057772
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23968450} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.732910°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72057772 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.286062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60536 KachelY 82068 -0.23968450 -0.72057772 -13.732910 -41.286062
    Oben rechts KachelX + 1 60537 KachelY 82068 -0.23963656 -0.72057772 -13.730164 -41.286062
    Unten links KachelX 60536 KachelY + 1 82069 -0.23968450 -0.72061374 -13.732910 -41.288126
    Unten rechts KachelX + 1 60537 KachelY + 1 82069 -0.23963656 -0.72061374 -13.730164 -41.288126
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72057772--0.72061374) × R
    3.60200000000255e-05 × 6371000     		dl = 229.483420000162m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72057772--0.72061374) × R
    3.60200000000255e-05 × 6371000     		dr = 229.483420000162m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23968450--0.23963656) × cos(-0.72057772) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.751424663987908 × 6371000     		do = 229.50443405274m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23968450--0.23963656) × cos(-0.72061374) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.751400896823846 × 6371000     		du = 229.497174949069m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72057772)-sin(-0.72061374))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.751424663987908-0.751400896823846)×R²
    abs(-0.23963656--0.23968450)×2.37671640612724e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.37671640612724e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.37671640612724e-05×40589641000000     		ar = 52666.6295152356m²