Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60536 / 32968
↖ ↑ ↗
← N 66.293373°
W 13.732910°		 ← 122.80 m → N 66.293373°
W 13.730164°		 →
↑
122.83 m
↓
↑
122.83 m
↓
N 66.292268°
W 13.732910°		 ← 122.80 m →
15 084 m²		 N 66.292268°
W 13.730164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60536 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32968 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461856842041016 y=0.251529693603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461856842041016 × 217)
    floor (0.461856842041016 × 131072)
    floor (60536.5)     		tx = 60536
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.251529693603516 × 217)
    floor (0.251529693603516 × 131072)
    floor (32968.5)     		ty = 32968
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60536 / 32968 ti = "17/60536/32968"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60536/32968.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60536 ÷ 217
    60536 ÷ 131072     		x = 0.46185302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32968 ÷ 217
    32968 ÷ 131072     		y = 0.25152587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46185302734375 × 2 - 1) × π
    -0.0762939453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23968450
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25152587890625 × 2 - 1) × π
    0.4969482421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.56120894682599
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23968450} λ = -0.23968450}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.56120894682599))-π/2
    2×atan(4.76457788601283)-π/2
    2×1.36391697753864-π/2
    2.72783395507729-1.57079632675     		φ = 1.15703763
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23968450} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.732910°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15703763 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.293373°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60536 KachelY 32968 -0.23968450 1.15703763 -13.732910 66.293373
    Oben rechts KachelX + 1 60537 KachelY 32968 -0.23963656 1.15703763 -13.730164 66.293373
    Unten links KachelX 60536 KachelY + 1 32969 -0.23968450 1.15701835 -13.732910 66.292268
    Unten rechts KachelX + 1 60537 KachelY + 1 32969 -0.23963656 1.15701835 -13.730164 66.292268
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15703763-1.15701835) × R
    1.92800000000659e-05 × 6371000     		dl = 122.83288000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15703763-1.15701835) × R
    1.92800000000659e-05 × 6371000     		dr = 122.83288000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23968450--0.23963656) × cos(1.15703763) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.402053683231404 × 6371000     		do = 122.797543720668m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23968450--0.23963656) × cos(1.15701835) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.402071336235014 × 6371000     		du = 122.802935402358m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15703763)-sin(1.15701835))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.402053683231404-0.402071336235014)×R²
    abs(-0.23963656--0.23968450)×1.76530036102296e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.76530036102296e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.76530036102296e-05×40589641000000     		ar = 15083.9070906388m²