Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60535 / 84057
↖ ↑ ↗
← S 45.261355°
W 13.735656°		 ← 214.94 m → S 45.261355°
W 13.732910°		 →
↑
215.02 m
↓
↑
215.02 m
↓
S 45.263289°
W 13.735656°		 ← 214.93 m →
46 215 m²		 S 45.263289°
W 13.732910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60535 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84057 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461849212646484 y=0.641307830810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461849212646484 × 217)
    floor (0.461849212646484 × 131072)
    floor (60535.5)     		tx = 60535
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641307830810547 × 217)
    floor (0.641307830810547 × 131072)
    floor (84057.5)     		ty = 84057
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60535 / 84057 ti = "17/60535/84057"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60535/84057.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60535 ÷ 217
    60535 ÷ 131072     		x = 0.461845397949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84057 ÷ 217
    84057 ÷ 131072     		y = 0.641304016113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461845397949219 × 2 - 1) × π
    -0.0763092041015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23973243
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641304016113281 × 2 - 1) × π
    -0.282608032226562 × 3.1415926535     		Φ = -0.88783931786306
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23973243} λ = -0.23973243}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.88783931786306))-π/2
    2×atan(0.411544008575422)-π/2
    2×0.390418326309442-π/2
    0.780836652618884-1.57079632675     		φ = -0.78995967
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23973243} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.735656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78995967 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.261355°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60535 KachelY 84057 -0.23973243 -0.78995967 -13.735656 -45.261355
    Oben rechts KachelX + 1 60536 KachelY 84057 -0.23968450 -0.78995967 -13.732910 -45.261355
    Unten links KachelX 60535 KachelY + 1 84058 -0.23973243 -0.78999342 -13.735656 -45.263289
    Unten rechts KachelX + 1 60536 KachelY + 1 84058 -0.23968450 -0.78999342 -13.732910 -45.263289
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78995967--0.78999342) × R
    3.37499999999435e-05 × 6371000     		dl = 215.02124999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78995967--0.78999342) × R
    3.37499999999435e-05 × 6371000     		dr = 215.02124999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23973243--0.23968450) × cos(-0.78995967) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.7038739636273 × 6371000     		do = 214.936382397385m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23973243--0.23968450) × cos(-0.78999342) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.703849989761532 × 6371000     		du = 214.929061689068m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78995967)-sin(-0.78999342))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.7038739636273-0.703849989761532)×R²
    abs(-0.23968450--0.23973243)×2.39738657679123e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39738657679123e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39738657679123e-05×40589641000000     		ar = 46215.1025638742m²