Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60534 / 40155
↖ ↑ ↗
← N 57.000363°
W 13.738403°		 ← 166.35 m → N 57.000363°
W 13.735656°		 →
↑
166.35 m
↓
↑
166.35 m
↓
N 56.998867°
W 13.738403°		 ← 166.35 m →
27 672 m²		 N 56.998867°
W 13.735656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60534 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40155 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461841583251953 y=0.306362152099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461841583251953 × 217)
    floor (0.461841583251953 × 131072)
    floor (60534.5)     		tx = 60534
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306362152099609 × 217)
    floor (0.306362152099609 × 131072)
    floor (40155.5)     		ty = 40155
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60534 / 40155 ti = "17/60534/40155"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60534/40155.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60534 ÷ 217
    60534 ÷ 131072     		x = 0.461837768554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40155 ÷ 217
    40155 ÷ 131072     		y = 0.306358337402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461837768554688 × 2 - 1) × π
    -0.076324462890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23978037
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306358337402344 × 2 - 1) × π
    0.387283325195312 × 3.1415926535     		Φ = 1.21668644925665
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23978037} λ = -0.23978037}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21668644925665))-π/2
    2×atan(3.37598268968181)-π/2
    2×1.28282016765067-π/2
    2.56564033530134-1.57079632675     		φ = 0.99484401
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23978037} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.738403°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99484401 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.000363°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60534 KachelY 40155 -0.23978037 0.99484401 -13.738403 57.000363
    Oben rechts KachelX + 1 60535 KachelY 40155 -0.23973243 0.99484401 -13.735656 57.000363
    Unten links KachelX 60534 KachelY + 1 40156 -0.23978037 0.99481790 -13.738403 56.998867
    Unten rechts KachelX + 1 60535 KachelY + 1 40156 -0.23973243 0.99481790 -13.735656 56.998867
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99484401-0.99481790) × R
    2.61099999999681e-05 × 6371000     		dl = 166.346809999797m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99484401-0.99481790) × R
    2.61099999999681e-05 × 6371000     		dr = 166.346809999797m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23978037--0.23973243) × cos(0.99484401) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.544633720882743 × 6371000     		do = 166.345157229552m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23978037--0.23973243) × cos(0.99481790) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.544655618475728 × 6371000     		du = 166.351845318094m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99484401)-sin(0.99481790))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.544633720882743-0.544655618475728)×R²
    abs(-0.23973243--0.23978037)×2.18975929854315e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.18975929854315e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.18975929854315e-05×40589641000000     		ar = 27671.542536568m²