Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60534 / 39970
↖ ↑ ↗
← N 57.276073°
W 13.738403°		 ← 165.11 m → N 57.276073°
W 13.735656°		 →
↑
165.07 m
↓
↑
165.07 m
↓
N 57.274589°
W 13.738403°		 ← 165.12 m →
27 256 m²		 N 57.274589°
W 13.735656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60534 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39970 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461841583251953 y=0.304950714111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461841583251953 × 217)
    floor (0.461841583251953 × 131072)
    floor (60534.5)     		tx = 60534
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.304950714111328 × 217)
    floor (0.304950714111328 × 131072)
    floor (39970.5)     		ty = 39970
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60534 / 39970 ti = "17/60534/39970"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60534/39970.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60534 ÷ 217
    60534 ÷ 131072     		x = 0.461837768554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39970 ÷ 217
    39970 ÷ 131072     		y = 0.304946899414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461837768554688 × 2 - 1) × π
    -0.076324462890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23978037
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.304946899414062 × 2 - 1) × π
    0.390106201171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.22555477568636
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23978037} λ = -0.23978037}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22555477568636))-π/2
    2×atan(3.40605515532317)-π/2
    2×1.28522619446333-π/2
    2.57045238892667-1.57079632675     		φ = 0.99965606
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23978037} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.738403°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99965606 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.276073°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60534 KachelY 39970 -0.23978037 0.99965606 -13.738403 57.276073
    Oben rechts KachelX + 1 60535 KachelY 39970 -0.23973243 0.99965606 -13.735656 57.276073
    Unten links KachelX 60534 KachelY + 1 39971 -0.23978037 0.99963015 -13.738403 57.274589
    Unten rechts KachelX + 1 60535 KachelY + 1 39971 -0.23973243 0.99963015 -13.735656 57.274589
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99965606-0.99963015) × R
    2.59099999999624e-05 × 6371000     		dl = 165.07260999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99965606-0.99963015) × R
    2.59099999999624e-05 × 6371000     		dr = 165.07260999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23978037--0.23973243) × cos(0.99965606) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.540591689435493 × 6371000     		do = 165.110616783673m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23978037--0.23973243) × cos(0.99963015) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.540613486951064 × 6371000     		du = 165.117274305996m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99965606)-sin(0.99963015))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.540591689435493-0.540613486951064)×R²
    abs(-0.23973243--0.23978037)×2.17975155711869e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.17975155711869e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.17975155711869e-05×40589641000000     		ar = 27255.7899400023m²