Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60533 / 40156
↖ ↑ ↗
← N 56.998867°
W 13.741150°		 ← 166.35 m → N 56.998867°
W 13.738403°		 →
↑
166.35 m
↓
↑
166.35 m
↓
N 56.997371°
W 13.741150°		 ← 166.36 m →
27 673 m²		 N 56.997371°
W 13.738403°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60533 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40156 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461833953857422 y=0.306369781494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461833953857422 × 217)
    floor (0.461833953857422 × 131072)
    floor (60533.5)     		tx = 60533
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306369781494141 × 217)
    floor (0.306369781494141 × 131072)
    floor (40156.5)     		ty = 40156
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60533 / 40156 ti = "17/60533/40156"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60533/40156.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60533 ÷ 217
    60533 ÷ 131072     		x = 0.461830139160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40156 ÷ 217
    40156 ÷ 131072     		y = 0.306365966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461830139160156 × 2 - 1) × π
    -0.0763397216796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23982831
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306365966796875 × 2 - 1) × π
    0.38726806640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.21663851235703
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23982831} λ = -0.23982831}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21663851235703))-π/2
    2×atan(3.37582085941734)-π/2
    2×1.28280711336223-π/2
    2.56561422672445-1.57079632675     		φ = 0.99481790
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23982831} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.741150°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99481790 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.998867°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60533 KachelY 40156 -0.23982831 0.99481790 -13.741150 56.998867
    Oben rechts KachelX + 1 60534 KachelY 40156 -0.23978037 0.99481790 -13.738403 56.998867
    Unten links KachelX 60533 KachelY + 1 40157 -0.23982831 0.99479179 -13.741150 56.997371
    Unten rechts KachelX + 1 60534 KachelY + 1 40157 -0.23978037 0.99479179 -13.738403 56.997371
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99481790-0.99479179) × R
    2.61100000000791e-05 × 6371000     		dl = 166.346810000504m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99481790-0.99479179) × R
    2.61100000000791e-05 × 6371000     		dr = 166.346810000504m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23982831--0.23978037) × cos(0.99481790) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.544655618475728 × 6371000     		do = 166.351845318094m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23982831--0.23978037) × cos(0.99479179) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.544677515697405 × 6371000     		du = 166.358533293229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99481790)-sin(0.99479179))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.544655618475728-0.544677515697405)×R²
    abs(-0.23978037--0.23982831)×2.18972216762259e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.18972216762259e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.18972216762259e-05×40589641000000     		ar = 27672.6550695757m²