Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60531 / 40105
↖ ↑ ↗
← N 57.075082°
W 13.746643°		 ← 165.98 m → N 57.075082°
W 13.743897°		 →
↑
166.03 m
↓
↑
166.03 m
↓
N 57.073589°
W 13.746643°		 ← 165.98 m →
27 557 m²		 N 57.073589°
W 13.743897°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60531 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40105 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461818695068359 y=0.305980682373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461818695068359 × 217)
    floor (0.461818695068359 × 131072)
    floor (60531.5)     		tx = 60531
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305980682373047 × 217)
    floor (0.305980682373047 × 131072)
    floor (40105.5)     		ty = 40105
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60531 / 40105 ti = "17/60531/40105"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60531/40105.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60531 ÷ 217
    60531 ÷ 131072     		x = 0.461814880371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40105 ÷ 217
    40105 ÷ 131072     		y = 0.305976867675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461814880371094 × 2 - 1) × π
    -0.0763702392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23992418
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305976867675781 × 2 - 1) × π
    0.388046264648438 × 3.1415926535     		Φ = 1.21908329423765
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23992418} λ = -0.23992418}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21908329423765))-π/2
    2×atan(3.38408410188365)-π/2
    2×1.28347221318599-π/2
    2.56694442637198-1.57079632675     		φ = 0.99614810
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23992418} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.746643°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99614810 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.075082°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60531 KachelY 40105 -0.23992418 0.99614810 -13.746643 57.075082
    Oben rechts KachelX + 1 60532 KachelY 40105 -0.23987625 0.99614810 -13.743897 57.075082
    Unten links KachelX 60531 KachelY + 1 40106 -0.23992418 0.99612204 -13.746643 57.073589
    Unten rechts KachelX + 1 60532 KachelY + 1 40106 -0.23987625 0.99612204 -13.743897 57.073589
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99614810-0.99612204) × R
    2.60599999999389e-05 × 6371000     		dl = 166.028259999611m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99614810-0.99612204) × R
    2.60599999999389e-05 × 6371000     		dr = 166.028259999611m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23992418--0.23987625) × cos(0.99614810) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.543539551675559 × 6371000     		do = 165.976340884848m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23992418--0.23987625) × cos(0.99612204) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.543561425826487 × 6371000     		du = 165.98302041998m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99614810)-sin(0.99612204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.543539551675559-0.543561425826487)×R²
    abs(-0.23987625--0.23992418)×2.1874150927581e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.1874150927581e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.1874150927581e-05×40589641000000     		ar = 27557.3175754946m²