Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60530 / 34442
↖ ↑ ↗
← N 64.612104°
W 13.749390°		 ← 130.95 m → N 64.612104°
W 13.746643°		 →
↑
130.92 m
↓
↑
130.92 m
↓
N 64.610926°
W 13.749390°		 ← 130.96 m →
17 145 m²		 N 64.610926°
W 13.746643°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60530 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34442 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461811065673828 y=0.262775421142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461811065673828 × 217)
    floor (0.461811065673828 × 131072)
    floor (60530.5)     		tx = 60530
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.262775421142578 × 217)
    floor (0.262775421142578 × 131072)
    floor (34442.5)     		ty = 34442
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60530 / 34442 ti = "17/60530/34442"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60530/34442.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60530 ÷ 217
    60530 ÷ 131072     		x = 0.461807250976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34442 ÷ 217
    34442 ÷ 131072     		y = 0.262771606445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461807250976562 × 2 - 1) × π
    -0.076385498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23997212
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.262771606445312 × 2 - 1) × π
    0.474456787109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.49054995678603
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23997212} λ = -0.23997212}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49054995678603))-π/2
    2×atan(4.43953640092285)-π/2
    2×1.34924513856781-π/2
    2.69849027713563-1.57079632675     		φ = 1.12769395
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23997212} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.749390°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12769395 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.612104°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60530 KachelY 34442 -0.23997212 1.12769395 -13.749390 64.612104
    Oben rechts KachelX + 1 60531 KachelY 34442 -0.23992418 1.12769395 -13.746643 64.612104
    Unten links KachelX 60530 KachelY + 1 34443 -0.23997212 1.12767340 -13.749390 64.610926
    Unten rechts KachelX + 1 60531 KachelY + 1 34443 -0.23992418 1.12767340 -13.746643 64.610926
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12769395-1.12767340) × R
    2.05500000001191e-05 × 6371000     		dl = 130.924050000759m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12769395-1.12767340) × R
    2.05500000001191e-05 × 6371000     		dr = 130.924050000759m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23997212--0.23992418) × cos(1.12769395) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.428744291351498 × 6371000     		do = 130.949542456873m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23997212--0.23992418) × cos(1.12767340) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.428762856662937 × 6371000     		du = 130.955212780857m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12769395)-sin(1.12767340))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.428744291351498-0.428762856662937)×R²
    abs(-0.23992418--0.23997212)×1.85653114391782e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.85653114391782e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.85653114391782e-05×40589641000000     		ar = 17144.8156356278m²