Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60529 / 85492
↖ ↑ ↗
← S 47.967859°
W 13.752136°		 ← 204.50 m → S 47.967859°
W 13.749390°		 →
↑
204.51 m
↓
↑
204.51 m
↓
S 47.969698°
W 13.752136°		 ← 204.49 m →
41 821 m²		 S 47.969698°
W 13.749390°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85492 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461803436279297 y=0.652256011962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461803436279297 × 217)
    floor (0.461803436279297 × 131072)
    floor (60529.5)     		tx = 60529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652256011962891 × 217)
    floor (0.652256011962891 × 131072)
    floor (85492.5)     		ty = 85492
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60529 / 85492 ti = "17/60529/85492"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60529/85492.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60529 ÷ 217
    60529 ÷ 131072     		x = 0.461799621582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85492 ÷ 217
    85492 ÷ 131072     		y = 0.652252197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461799621582031 × 2 - 1) × π
    -0.0764007568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24002006
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652252197265625 × 2 - 1) × π
    -0.30450439453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.956628768817841
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24002006} λ = -0.24002006}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.956628768817841))-π/2
    2×atan(0.384185884685926)-π/2
    2×0.366799627985332-π/2
    0.733599255970664-1.57079632675     		φ = -0.83719707
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24002006} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.752136°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83719707 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.967859°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60529 KachelY 85492 -0.24002006 -0.83719707 -13.752136 -47.967859
    Oben rechts KachelX + 1 60530 KachelY 85492 -0.23997212 -0.83719707 -13.749390 -47.967859
    Unten links KachelX 60529 KachelY + 1 85493 -0.24002006 -0.83722917 -13.752136 -47.969698
    Unten rechts KachelX + 1 60530 KachelY + 1 85493 -0.23997212 -0.83722917 -13.749390 -47.969698
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83719707--0.83722917) × R
    3.20999999999794e-05 × 6371000     		dl = 204.509099999869m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83719707--0.83722917) × R
    3.20999999999794e-05 × 6371000     		dr = 204.509099999869m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24002006--0.23997212) × cos(-0.83719707) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.669547383717316 × 6371000     		do = 204.497005136909m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24002006--0.23997212) × cos(-0.83722917) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.669523540476368 × 6371000     		du = 204.489722797399m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83719707)-sin(-0.83722917))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.669547383717316-0.669523540476368)×R²
    abs(-0.23997212--0.24002006)×2.38432409479516e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.38432409479516e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.38432409479516e-05×40589641000000     		ar = 41820.753824437m²