Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60526 / 82794
↖ ↑ ↗
← S 42.767179°
W 13.760376°		 ← 224.22 m → S 42.767179°
W 13.757629°		 →
↑
224.20 m
↓
↑
224.20 m
↓
S 42.769195°
W 13.760376°		 ← 224.21 m →
50 268 m²		 S 42.769195°
W 13.757629°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60526 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82794 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461780548095703 y=0.631671905517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461780548095703 × 217)
    floor (0.461780548095703 × 131072)
    floor (60526.5)     		tx = 60526
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631671905517578 × 217)
    floor (0.631671905517578 × 131072)
    floor (82794.5)     		ty = 82794
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60526 / 82794 ti = "17/60526/82794"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60526/82794.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60526 ÷ 217
    60526 ÷ 131072     		x = 0.461776733398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82794 ÷ 217
    82794 ÷ 131072     		y = 0.631668090820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461776733398438 × 2 - 1) × π
    -0.076446533203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24016387
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631668090820312 × 2 - 1) × π
    -0.263336181640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.827295013642929
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24016387} λ = -0.24016387}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.827295013642929))-π/2
    2×atan(0.437230390407091)-π/2
    2×0.412184123929989-π/2
    0.824368247859977-1.57079632675     		φ = -0.74642808
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24016387} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.760376°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74642808 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.767179°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60526 KachelY 82794 -0.24016387 -0.74642808 -13.760376 -42.767179
    Oben rechts KachelX + 1 60527 KachelY 82794 -0.24011593 -0.74642808 -13.757629 -42.767179
    Unten links KachelX 60526 KachelY + 1 82795 -0.24016387 -0.74646327 -13.760376 -42.769195
    Unten rechts KachelX + 1 60527 KachelY + 1 82795 -0.24011593 -0.74646327 -13.757629 -42.769195
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74642808--0.74646327) × R
    3.51899999999628e-05 × 6371000     		dl = 224.195489999763m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74642808--0.74646327) × R
    3.51899999999628e-05 × 6371000     		dr = 224.195489999763m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24016387--0.24011593) × cos(-0.74642808) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.734118955153762 × 6371000     		do = 224.218825125847m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24016387--0.24011593) × cos(-0.74646327) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.734095059954348 × 6371000     		du = 224.211526916884m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74642808)-sin(-0.74646327))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.734118955153762-0.734095059954348)×R²
    abs(-0.24011593--0.24016387)×2.38951994142589e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.38951994142589e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.38951994142589e-05×40589641000000     		ar = 50268.0312586684m²