Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60525 / 85489
↖ ↑ ↗
← S 47.962342°
W 13.763122°		 ← 204.48 m → S 47.962342°
W 13.760376°		 →
↑
204.51 m
↓
↑
204.51 m
↓
S 47.964181°
W 13.763122°		 ← 204.47 m →
41 816 m²		 S 47.964181°
W 13.760376°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60525 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85489 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461772918701172 y=0.652233123779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461772918701172 × 217)
    floor (0.461772918701172 × 131072)
    floor (60525.5)     		tx = 60525
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652233123779297 × 217)
    floor (0.652233123779297 × 131072)
    floor (85489.5)     		ty = 85489
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60525 / 85489 ti = "17/60525/85489"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60525/85489.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60525 ÷ 217
    60525 ÷ 131072     		x = 0.461769104003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85489 ÷ 217
    85489 ÷ 131072     		y = 0.652229309082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461769104003906 × 2 - 1) × π
    -0.0764617919921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24021180
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652229309082031 × 2 - 1) × π
    -0.304458618164062 × 3.1415926535     		Φ = -0.95648495811898
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24021180} λ = -0.24021180}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.95648495811898))-π/2
    2×atan(0.384241138699459)-π/2
    2×0.36684777459522-π/2
    0.733695549190441-1.57079632675     		φ = -0.83710078
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24021180} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.763122°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83710078 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.962342°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60525 KachelY 85489 -0.24021180 -0.83710078 -13.763122 -47.962342
    Oben rechts KachelX + 1 60526 KachelY 85489 -0.24016387 -0.83710078 -13.760376 -47.962342
    Unten links KachelX 60525 KachelY + 1 85490 -0.24021180 -0.83713288 -13.763122 -47.964181
    Unten rechts KachelX + 1 60526 KachelY + 1 85490 -0.24016387 -0.83713288 -13.760376 -47.964181
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83710078--0.83713288) × R
    3.20999999999794e-05 × 6371000     		dl = 204.509099999869m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83710078--0.83713288) × R
    3.20999999999794e-05 × 6371000     		dr = 204.509099999869m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24021180--0.24016387) × cos(-0.83710078) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.669618901873563 × 6371000     		do = 204.476187202489m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24021180--0.24016387) × cos(-0.83713288) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.669595060702199 × 6371000     		du = 204.468907014003m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83710078)-sin(-0.83713288))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.669618901873563-0.669595060702199)×R²
    abs(-0.24016387--0.24021180)×2.38411713643361e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.38411713643361e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.38411713643361e-05×40589641000000     		ar = 41816.4965875515m²