Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60524 / 82805
↖ ↑ ↗
← S 42.789354°
W 13.765869°		 ← 224.14 m → S 42.789354°
W 13.763122°		 →
↑
224.13 m
↓
↑
224.13 m
↓
S 42.791370°
W 13.765869°		 ← 224.13 m →
50 236 m²		 S 42.791370°
W 13.763122°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60524 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82805 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461765289306641 y=0.631755828857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461765289306641 × 217)
    floor (0.461765289306641 × 131072)
    floor (60524.5)     		tx = 60524
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631755828857422 × 217)
    floor (0.631755828857422 × 131072)
    floor (82805.5)     		ty = 82805
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60524 / 82805 ti = "17/60524/82805"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60524/82805.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60524 ÷ 217
    60524 ÷ 131072     		x = 0.461761474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82805 ÷ 217
    82805 ÷ 131072     		y = 0.631752014160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461761474609375 × 2 - 1) × π
    -0.07647705078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24025974
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631752014160156 × 2 - 1) × π
    -0.263504028320312 × 3.1415926535     		Φ = -0.82782231953875
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24025974} λ = -0.24025974}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.82782231953875))-π/2
    2×atan(0.436999897019999)-π/2
    2×0.411990605954776-π/2
    0.823981211909553-1.57079632675     		φ = -0.74681511
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24025974} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.765869°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74681511 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.789354°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60524 KachelY 82805 -0.24025974 -0.74681511 -13.765869 -42.789354
    Oben rechts KachelX + 1 60525 KachelY 82805 -0.24021180 -0.74681511 -13.763122 -42.789354
    Unten links KachelX 60524 KachelY + 1 82806 -0.24025974 -0.74685029 -13.765869 -42.791370
    Unten rechts KachelX + 1 60525 KachelY + 1 82806 -0.24021180 -0.74685029 -13.763122 -42.791370
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74681511--0.74685029) × R
    3.51800000000235e-05 × 6371000     		dl = 224.13178000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74681511--0.74685029) × R
    3.51800000000235e-05 × 6371000     		dr = 224.13178000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24025974--0.24021180) × cos(-0.74681511) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.733856098725284 × 6371000     		do = 224.138542006666m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24025974--0.24021180) × cos(-0.74685029) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.733832200322734 × 6371000     		du = 224.131242819382m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74681511)-sin(-0.74685029))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.733856098725284-0.733832200322734)×R²
    abs(-0.24021180--0.24025974)×2.38984025499045e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.38984025499045e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.38984025499045e-05×40589641000000     		ar = 50235.7524018442m²