Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60524 / 39974
↖ ↑ ↗
← N 57.270134°
W 13.765869°		 ← 165.14 m → N 57.270134°
W 13.763122°		 →
↑
165.14 m
↓
↑
165.14 m
↓
N 57.268649°
W 13.765869°		 ← 165.14 m →
27 271 m²		 N 57.268649°
W 13.763122°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60524 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39974 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461765289306641 y=0.304981231689453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461765289306641 × 217)
    floor (0.461765289306641 × 131072)
    floor (60524.5)     		tx = 60524
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.304981231689453 × 217)
    floor (0.304981231689453 × 131072)
    floor (39974.5)     		ty = 39974
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60524 / 39974 ti = "17/60524/39974"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60524/39974.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60524 ÷ 217
    60524 ÷ 131072     		x = 0.461761474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39974 ÷ 217
    39974 ÷ 131072     		y = 0.304977416992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461761474609375 × 2 - 1) × π
    -0.07647705078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24025974
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.304977416992188 × 2 - 1) × π
    0.390045166015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.22536302808788
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24025974} λ = -0.24025974}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22536302808788))-π/2
    2×atan(3.4054021150383)-π/2
    2×1.28517436170392-π/2
    2.57034872340784-1.57079632675     		φ = 0.99955240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24025974} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.765869°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99955240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.270134°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60524 KachelY 39974 -0.24025974 0.99955240 -13.765869 57.270134
    Oben rechts KachelX + 1 60525 KachelY 39974 -0.24021180 0.99955240 -13.763122 57.270134
    Unten links KachelX 60524 KachelY + 1 39975 -0.24025974 0.99952648 -13.765869 57.268649
    Unten rechts KachelX + 1 60525 KachelY + 1 39975 -0.24021180 0.99952648 -13.763122 57.268649
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99955240-0.99952648) × R
    2.59200000000126e-05 × 6371000     		dl = 165.13632000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99955240-0.99952648) × R
    2.59200000000126e-05 × 6371000     		dr = 165.13632000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24025974--0.24021180) × cos(0.99955240) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.540678894144726 × 6371000     		do = 165.137251346522m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24025974--0.24021180) × cos(0.99952648) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.540700698620364 × 6371000     		du = 165.143910994629m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99955240)-sin(0.99952648))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.540678894144726-0.540700698620364)×R²
    abs(-0.24021180--0.24025974)×2.1804475637599e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.1804475637599e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.1804475637599e-05×40589641000000     		ar = 27270.7078586577m²