Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60522 / 85297
↖ ↑ ↗
← S 47.608015°
W 13.771362°		 ← 205.87 m → S 47.608015°
W 13.768616°		 →
↑
205.91 m
↓
↑
205.91 m
↓
S 47.609867°
W 13.771362°		 ← 205.87 m →
42 391 m²		 S 47.609867°
W 13.768616°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60522 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85297 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461750030517578 y=0.650768280029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461750030517578 × 217)
    floor (0.461750030517578 × 131072)
    floor (60522.5)     		tx = 60522
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650768280029297 × 217)
    floor (0.650768280029297 × 131072)
    floor (85297.5)     		ty = 85297
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60522 / 85297 ti = "17/60522/85297"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60522/85297.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60522 ÷ 217
    60522 ÷ 131072     		x = 0.461746215820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85297 ÷ 217
    85297 ÷ 131072     		y = 0.650764465332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461746215820312 × 2 - 1) × π
    -0.076507568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24035561
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650764465332031 × 2 - 1) × π
    -0.301528930664062 × 3.1415926535     		Φ = -0.94728107339193
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24035561} λ = -0.24035561}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.94728107339193))-π/2
    2×atan(0.387793974713534)-π/2
    2×0.36993985893528-π/2
    0.73987971787056-1.57079632675     		φ = -0.83091661
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24035561} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.771362°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83091661 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.608015°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60522 KachelY 85297 -0.24035561 -0.83091661 -13.771362 -47.608015
    Oben rechts KachelX + 1 60523 KachelY 85297 -0.24030768 -0.83091661 -13.768616 -47.608015
    Unten links KachelX 60522 KachelY + 1 85298 -0.24035561 -0.83094893 -13.771362 -47.609867
    Unten rechts KachelX + 1 60523 KachelY + 1 85298 -0.24030768 -0.83094893 -13.768616 -47.609867
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83091661--0.83094893) × R
    3.23199999999746e-05 × 6371000     		dl = 205.910719999838m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83091661--0.83094893) × R
    3.23199999999746e-05 × 6371000     		dr = 205.910719999838m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24035561--0.24030768) × cos(-0.83091661) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.674199081385432 × 6371000     		do = 205.874800115997m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24035561--0.24030768) × cos(-0.83094893) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.674175211108332 × 6371000     		du = 205.867511039726m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83091661)-sin(-0.83094893))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.674199081385432-0.674175211108332)×R²
    abs(-0.24030768--0.24035561)×2.38702770996024e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.38702770996024e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.38702770996024e-05×40589641000000     		ar = 42391.0778759453m²