Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60522 / 85296
↖ ↑ ↗
← S 47.606163°
W 13.771362°		 ← 205.88 m → S 47.606163°
W 13.768616°		 →
↑
205.91 m
↓
↑
205.91 m
↓
S 47.608015°
W 13.771362°		 ← 205.87 m →
42 393 m²		 S 47.608015°
W 13.768616°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60522 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85296 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461750030517578 y=0.650760650634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461750030517578 × 217)
    floor (0.461750030517578 × 131072)
    floor (60522.5)     		tx = 60522
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650760650634766 × 217)
    floor (0.650760650634766 × 131072)
    floor (85296.5)     		ty = 85296
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60522 / 85296 ti = "17/60522/85296"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60522/85296.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60522 ÷ 217
    60522 ÷ 131072     		x = 0.461746215820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85296 ÷ 217
    85296 ÷ 131072     		y = 0.6507568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461746215820312 × 2 - 1) × π
    -0.076507568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24035561
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6507568359375 × 2 - 1) × π
    -0.301513671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.94723313649231
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24035561} λ = -0.24035561}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.94723313649231))-π/2
    2×atan(0.387812564799946)-π/2
    2×0.369956018728198-π/2
    0.739912037456395-1.57079632675     		φ = -0.83088429
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24035561} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.771362°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83088429 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.606163°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60522 KachelY 85296 -0.24035561 -0.83088429 -13.771362 -47.606163
    Oben rechts KachelX + 1 60523 KachelY 85296 -0.24030768 -0.83088429 -13.768616 -47.606163
    Unten links KachelX 60522 KachelY + 1 85297 -0.24035561 -0.83091661 -13.771362 -47.608015
    Unten rechts KachelX + 1 60523 KachelY + 1 85297 -0.24030768 -0.83091661 -13.768616 -47.608015
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83088429--0.83091661) × R
    3.23200000000856e-05 × 6371000     		dl = 205.910720000545m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83088429--0.83091661) × R
    3.23200000000856e-05 × 6371000     		dr = 205.910720000545m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24035561--0.24030768) × cos(-0.83088429) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.674222950958275 × 6371000     		do = 205.882088977216m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24035561--0.24030768) × cos(-0.83091661) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.674199081385432 × 6371000     		du = 205.874800115997m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83088429)-sin(-0.83091661))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.674222950958275-0.674199081385432)×R²
    abs(-0.24030768--0.24035561)×2.38695728432825e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.38695728432825e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.38695728432825e-05×40589641000000     		ar = 42392.5787530008m²