Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60522 / 83398
↖ ↑ ↗
← S 43.973051°
W 13.771362°		 ← 219.76 m → S 43.973051°
W 13.768616°		 →
↑
219.80 m
↓
↑
219.80 m
↓
S 43.975028°
W 13.771362°		 ← 219.75 m →
48 302 m²		 S 43.975028°
W 13.768616°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60522 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83398 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461750030517578 y=0.636280059814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461750030517578 × 217)
    floor (0.461750030517578 × 131072)
    floor (60522.5)     		tx = 60522
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636280059814453 × 217)
    floor (0.636280059814453 × 131072)
    floor (83398.5)     		ty = 83398
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60522 / 83398 ti = "17/60522/83398"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60522/83398.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60522 ÷ 217
    60522 ÷ 131072     		x = 0.461746215820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83398 ÷ 217
    83398 ÷ 131072     		y = 0.636276245117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461746215820312 × 2 - 1) × π
    -0.076507568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24035561
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636276245117188 × 2 - 1) × π
    -0.272552490234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.856248901013443
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24035561} λ = -0.24035561}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.856248901013443))-π/2
    2×atan(0.424752386004425)-π/2
    2×0.401660897464654-π/2
    0.803321794929309-1.57079632675     		φ = -0.76747453
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24035561} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.771362°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76747453 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.973051°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60522 KachelY 83398 -0.24035561 -0.76747453 -13.771362 -43.973051
    Oben rechts KachelX + 1 60523 KachelY 83398 -0.24030768 -0.76747453 -13.768616 -43.973051
    Unten links KachelX 60522 KachelY + 1 83399 -0.24035561 -0.76750903 -13.771362 -43.975028
    Unten rechts KachelX + 1 60523 KachelY + 1 83399 -0.24030768 -0.76750903 -13.768616 -43.975028
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76747453--0.76750903) × R
    3.45000000000484e-05 × 6371000     		dl = 219.799500000308m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76747453--0.76750903) × R
    3.45000000000484e-05 × 6371000     		dr = 219.799500000308m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24035561--0.24030768) × cos(-0.76747453) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.719666446987764 × 6371000     		do = 219.758807175078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24035561--0.24030768) × cos(-0.76750903) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.719642492520902 × 6371000     		du = 219.75149239045m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76747453)-sin(-0.76750903))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.719666446987764-0.719642492520902)×R²
    abs(-0.24030768--0.24035561)×2.39544668626523e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39544668626523e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39544668626523e-05×40589641000000     		ar = 48302.0720495023m²