Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60522 / 39976
↖ ↑ ↗
← N 57.267164°
W 13.771362°		 ← 165.12 m → N 57.267164°
W 13.768616°		 →
↑
165.14 m
↓
↑
165.14 m
↓
N 57.265679°
W 13.771362°		 ← 165.12 m →
27 267 m²		 N 57.265679°
W 13.768616°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60522 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39976 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461750030517578 y=0.304996490478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461750030517578 × 217)
    floor (0.461750030517578 × 131072)
    floor (60522.5)     		tx = 60522
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.304996490478516 × 217)
    floor (0.304996490478516 × 131072)
    floor (39976.5)     		ty = 39976
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60522 / 39976 ti = "17/60522/39976"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60522/39976.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60522 ÷ 217
    60522 ÷ 131072     		x = 0.461746215820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39976 ÷ 217
    39976 ÷ 131072     		y = 0.30499267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461746215820312 × 2 - 1) × π
    -0.076507568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24035561
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30499267578125 × 2 - 1) × π
    0.3900146484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.22526715428864
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24035561} λ = -0.24035561}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22526715428864))-π/2
    2×atan(3.40507564184996)-π/2
    2×1.28514844218871-π/2
    2.57029688437742-1.57079632675     		φ = 0.99950056
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24035561} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.771362°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99950056 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.267164°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60522 KachelY 39976 -0.24035561 0.99950056 -13.771362 57.267164
    Oben rechts KachelX + 1 60523 KachelY 39976 -0.24030768 0.99950056 -13.768616 57.267164
    Unten links KachelX 60522 KachelY + 1 39977 -0.24035561 0.99947464 -13.771362 57.265679
    Unten rechts KachelX + 1 60523 KachelY + 1 39977 -0.24030768 0.99947464 -13.768616 57.265679
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99950056-0.99947464) × R
    2.59200000000126e-05 × 6371000     		dl = 165.13632000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99950056-0.99947464) × R
    2.59200000000126e-05 × 6371000     		dr = 165.13632000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24035561--0.24030768) × cos(0.99950056) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.540722502732733 × 6371000     		do = 165.116121101153m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24035561--0.24030768) × cos(0.99947464) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.540744306481821 × 6371000     		du = 165.122779138236m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99950056)-sin(0.99947464))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.540722502732733-0.540744306481821)×R²
    abs(-0.24030768--0.24035561)×2.18037490873346e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.18037490873346e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.18037490873346e-05×40589641000000     		ar = 27267.2183546418m²