Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60522 / 39853
↖ ↑ ↗
← N 57.449383°
W 13.771362°		 ← 164.30 m → N 57.449383°
W 13.768616°		 →
↑
164.37 m
↓
↑
164.37 m
↓
N 57.447905°
W 13.771362°		 ← 164.30 m →
27 007 m²		 N 57.447905°
W 13.768616°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60522 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39853 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461750030517578 y=0.304058074951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461750030517578 × 217)
    floor (0.461750030517578 × 131072)
    floor (60522.5)     		tx = 60522
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.304058074951172 × 217)
    floor (0.304058074951172 × 131072)
    floor (39853.5)     		ty = 39853
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60522 / 39853 ti = "17/60522/39853"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60522/39853.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60522 ÷ 217
    60522 ÷ 131072     		x = 0.461746215820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39853 ÷ 217
    39853 ÷ 131072     		y = 0.304054260253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461746215820312 × 2 - 1) × π
    -0.076507568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24035561
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.304054260253906 × 2 - 1) × π
    0.391891479492188 × 3.1415926535     		Φ = 1.2311633929419
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24035561} λ = -0.24035561}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2311633929419))-π/2
    2×atan(3.42521208677119)-π/2
    2×1.28673860715767-π/2
    2.57347721431533-1.57079632675     		φ = 1.00268089
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24035561} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.771362°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00268089 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.449383°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60522 KachelY 39853 -0.24035561 1.00268089 -13.771362 57.449383
    Oben rechts KachelX + 1 60523 KachelY 39853 -0.24030768 1.00268089 -13.768616 57.449383
    Unten links KachelX 60522 KachelY + 1 39854 -0.24035561 1.00265509 -13.771362 57.447905
    Unten rechts KachelX + 1 60523 KachelY + 1 39854 -0.24030768 1.00265509 -13.768616 57.447905
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00268089-1.00265509) × R
    2.57999999999647e-05 × 6371000     		dl = 164.371799999775m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00268089-1.00265509) × R
    2.57999999999647e-05 × 6371000     		dr = 164.371799999775m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24035561--0.24030768) × cos(1.00268089) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.538044475800502 × 6371000     		do = 164.298353360733m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24035561--0.24030768) × cos(1.00265509) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.538066222865844 × 6371000     		du = 164.304994088752m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00268089)-sin(1.00265509))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.538044475800502-0.538066222865844)×R²
    abs(-0.24030768--0.24035561)×2.17470653414154e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.17470653414154e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.17470653414154e-05×40589641000000     		ar = 27006.5618545963m²