Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60522 / 39850
↖ ↑ ↗
← N 57.453816°
W 13.771362°		 ← 164.28 m → N 57.453816°
W 13.768616°		 →
↑
164.31 m
↓
↑
164.31 m
↓
N 57.452339°
W 13.771362°		 ← 164.29 m →
26 993 m²		 N 57.452339°
W 13.768616°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60522 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39850 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461750030517578 y=0.304035186767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461750030517578 × 217)
    floor (0.461750030517578 × 131072)
    floor (60522.5)     		tx = 60522
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.304035186767578 × 217)
    floor (0.304035186767578 × 131072)
    floor (39850.5)     		ty = 39850
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60522 / 39850 ti = "17/60522/39850"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60522/39850.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60522 ÷ 217
    60522 ÷ 131072     		x = 0.461746215820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39850 ÷ 217
    39850 ÷ 131072     		y = 0.304031372070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461746215820312 × 2 - 1) × π
    -0.076507568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24035561
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.304031372070312 × 2 - 1) × π
    0.391937255859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.23130720364076
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24035561} λ = -0.24035561}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23130720364076))-π/2
    2×atan(3.42570470433612)-π/2
    2×1.28677729308901-π/2
    2.57355458617802-1.57079632675     		φ = 1.00275826
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24035561} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.771362°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00275826 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.453816°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60522 KachelY 39850 -0.24035561 1.00275826 -13.771362 57.453816
    Oben rechts KachelX + 1 60523 KachelY 39850 -0.24030768 1.00275826 -13.768616 57.453816
    Unten links KachelX 60522 KachelY + 1 39851 -0.24035561 1.00273247 -13.771362 57.452339
    Unten rechts KachelX + 1 60523 KachelY + 1 39851 -0.24030768 1.00273247 -13.768616 57.452339
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00275826-1.00273247) × R
    2.57900000000255e-05 × 6371000     		dl = 164.308090000163m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00275826-1.00273247) × R
    2.57900000000255e-05 × 6371000     		dr = 164.308090000163m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24035561--0.24030768) × cos(1.00275826) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.537979257744415 × 6371000     		do = 164.278438242733m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24035561--0.24030768) × cos(1.00273247) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.538000997454286 × 6371000     		du = 164.285076724671m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00275826)-sin(1.00273247))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.537979257744415-0.538000997454286)×R²
    abs(-0.24030768--0.24035561)×2.17397098714045e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.17397098714045e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.17397098714045e-05×40589641000000     		ar = 26992.8217955875m²