Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60522 / 34405
↖ ↑ ↗
← N 64.655640°
W 13.771362°		 ← 130.71 m → N 64.655640°
W 13.768616°		 →
↑
130.73 m
↓
↑
130.73 m
↓
N 64.654464°
W 13.771362°		 ← 130.72 m →
17 089 m²		 N 64.654464°
W 13.768616°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60522 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34405 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461750030517578 y=0.262493133544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461750030517578 × 217)
    floor (0.461750030517578 × 131072)
    floor (60522.5)     		tx = 60522
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.262493133544922 × 217)
    floor (0.262493133544922 × 131072)
    floor (34405.5)     		ty = 34405
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60522 / 34405 ti = "17/60522/34405"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60522/34405.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60522 ÷ 217
    60522 ÷ 131072     		x = 0.461746215820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34405 ÷ 217
    34405 ÷ 131072     		y = 0.262489318847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461746215820312 × 2 - 1) × π
    -0.076507568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24035561
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.262489318847656 × 2 - 1) × π
    0.475021362304688 × 3.1415926535     		Φ = 1.49232362207197
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24035561} λ = -0.24035561}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49232362207197))-π/2
    2×atan(4.44741763979662)-π/2
    2×1.34962505849558-π/2
    2.69925011699117-1.57079632675     		φ = 1.12845379
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24035561} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.771362°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12845379 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.655640°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60522 KachelY 34405 -0.24035561 1.12845379 -13.771362 64.655640
    Oben rechts KachelX + 1 60523 KachelY 34405 -0.24030768 1.12845379 -13.768616 64.655640
    Unten links KachelX 60522 KachelY + 1 34406 -0.24035561 1.12843327 -13.771362 64.654464
    Unten rechts KachelX + 1 60523 KachelY + 1 34406 -0.24030768 1.12843327 -13.768616 64.654464
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12845379-1.12843327) × R
    2.05200000000794e-05 × 6371000     		dl = 130.732920000506m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12845379-1.12843327) × R
    2.05200000000794e-05 × 6371000     		dr = 130.732920000506m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24035561--0.24030768) × cos(1.12845379) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.428057708522641 × 6371000     		do = 130.712570831626m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24035561--0.24030768) × cos(1.12843327) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.428076253411305 × 6371000     		du = 130.718233736475m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12845379)-sin(1.12843327))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.428057708522641-0.428076253411305)×R²
    abs(-0.24030768--0.24035561)×1.85448886642625e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.85448886642625e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.85448886642625e-05×40589641000000     		ar = 17088.8062302791m²