Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60521 / 82857
↖ ↑ ↗
← S 42.894076°
W 13.774109°		 ← 223.76 m → S 42.894076°
W 13.771362°		 →
↑
223.75 m
↓
↑
223.75 m
↓
S 42.896088°
W 13.774109°		 ← 223.75 m →
50 065 m²		 S 42.896088°
W 13.771362°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60521 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82857 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461742401123047 y=0.632152557373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461742401123047 × 217)
    floor (0.461742401123047 × 131072)
    floor (60521.5)     		tx = 60521
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632152557373047 × 217)
    floor (0.632152557373047 × 131072)
    floor (82857.5)     		ty = 82857
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60521 / 82857 ti = "17/60521/82857"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60521/82857.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60521 ÷ 217
    60521 ÷ 131072     		x = 0.461738586425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82857 ÷ 217
    82857 ÷ 131072     		y = 0.632148742675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461738586425781 × 2 - 1) × π
    -0.0765228271484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24040355
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632148742675781 × 2 - 1) × π
    -0.264297485351562 × 3.1415926535     		Φ = -0.830315038318993
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24040355} λ = -0.24040355}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.830315038318993))-π/2
    2×atan(0.435911935723862)-π/2
    2×0.411076731985918-π/2
    0.822153463971836-1.57079632675     		φ = -0.74864286
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24040355} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.774109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74864286 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.894076°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60521 KachelY 82857 -0.24040355 -0.74864286 -13.774109 -42.894076
    Oben rechts KachelX + 1 60522 KachelY 82857 -0.24035561 -0.74864286 -13.771362 -42.894076
    Unten links KachelX 60521 KachelY + 1 82858 -0.24040355 -0.74867798 -13.774109 -42.896088
    Unten rechts KachelX + 1 60522 KachelY + 1 82858 -0.24035561 -0.74867798 -13.771362 -42.896088
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74864286--0.74867798) × R
    3.51199999999441e-05 × 6371000     		dl = 223.749519999644m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74864286--0.74867798) × R
    3.51199999999441e-05 × 6371000     		dr = 223.749519999644m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24040355--0.24035561) × cos(-0.74864286) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.732613273993848 × 6371000     		do = 223.758951343377m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24040355--0.24035561) × cos(-0.74867798) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.732589369285137 × 6371000     		du = 223.751650230029m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74864286)-sin(-0.74867798))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.732613273993848-0.732589369285137)×R²
    abs(-0.24035561--0.24040355)×2.39047087110533e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39047087110533e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39047087110533e-05×40589641000000     		ar = 50065.1411535209m²