Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60521 / 82843
↖ ↑ ↗
← S 42.865899°
W 13.774109°		 ← 223.86 m → S 42.865899°
W 13.771362°		 →
↑
223.88 m
↓
↑
223.88 m
↓
S 42.867913°
W 13.774109°		 ← 223.85 m →
50 117 m²		 S 42.867913°
W 13.771362°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60521 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82843 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461742401123047 y=0.632045745849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461742401123047 × 217)
    floor (0.461742401123047 × 131072)
    floor (60521.5)     		tx = 60521
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632045745849609 × 217)
    floor (0.632045745849609 × 131072)
    floor (82843.5)     		ty = 82843
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60521 / 82843 ti = "17/60521/82843"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60521/82843.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60521 ÷ 217
    60521 ÷ 131072     		x = 0.461738586425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82843 ÷ 217
    82843 ÷ 131072     		y = 0.632041931152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461738586425781 × 2 - 1) × π
    -0.0765228271484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24040355
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632041931152344 × 2 - 1) × π
    -0.264083862304688 × 3.1415926535     		Φ = -0.829643921724312
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24040355} λ = -0.24040355}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.829643921724312))-π/2
    2×atan(0.436204581646529)-π/2
    2×0.411322622594381-π/2
    0.822645245188762-1.57079632675     		φ = -0.74815108
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24040355} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.774109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74815108 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.865899°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60521 KachelY 82843 -0.24040355 -0.74815108 -13.774109 -42.865899
    Oben rechts KachelX + 1 60522 KachelY 82843 -0.24035561 -0.74815108 -13.771362 -42.865899
    Unten links KachelX 60521 KachelY + 1 82844 -0.24040355 -0.74818622 -13.774109 -42.867913
    Unten rechts KachelX + 1 60522 KachelY + 1 82844 -0.24035561 -0.74818622 -13.771362 -42.867913
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74815108--0.74818622) × R
    3.51400000000446e-05 × 6371000     		dl = 223.876940000284m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74815108--0.74818622) × R
    3.51400000000446e-05 × 6371000     		dr = 223.876940000284m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24040355--0.24035561) × cos(-0.74815108) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.732947913051216 × 6371000     		do = 223.861158725106m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24040355--0.24035561) × cos(-0.74818622) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.732924007392172 × 6371000     		du = 223.853857321502m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74815108)-sin(-0.74818622))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.732947913051216-0.732924007392172)×R²
    abs(-0.24035561--0.24040355)×2.39056590440878e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39056590440878e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39056590440878e-05×40589641000000     		ar = 50116.5338975291m²