Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60521 / 40151
↖ ↑ ↗
← N 57.006346°
W 13.774109°		 ← 166.32 m → N 57.006346°
W 13.771362°		 →
↑
166.28 m
↓
↑
166.28 m
↓
N 57.004850°
W 13.774109°		 ← 166.33 m →
27 656 m²		 N 57.004850°
W 13.771362°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60521 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40151 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461742401123047 y=0.306331634521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461742401123047 × 217)
    floor (0.461742401123047 × 131072)
    floor (60521.5)     		tx = 60521
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306331634521484 × 217)
    floor (0.306331634521484 × 131072)
    floor (40151.5)     		ty = 40151
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60521 / 40151 ti = "17/60521/40151"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60521/40151.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60521 ÷ 217
    60521 ÷ 131072     		x = 0.461738586425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40151 ÷ 217
    40151 ÷ 131072     		y = 0.306327819824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461738586425781 × 2 - 1) × π
    -0.0765228271484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24040355
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306327819824219 × 2 - 1) × π
    0.387344360351562 × 3.1415926535     		Φ = 1.21687819685513
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24040355} λ = -0.24040355}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21687819685513))-π/2
    2×atan(3.37663008832165)-π/2
    2×1.2828723795564-π/2
    2.56574475911281-1.57079632675     		φ = 0.99494843
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24040355} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.774109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99494843 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.006346°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60521 KachelY 40151 -0.24040355 0.99494843 -13.774109 57.006346
    Oben rechts KachelX + 1 60522 KachelY 40151 -0.24035561 0.99494843 -13.771362 57.006346
    Unten links KachelX 60521 KachelY + 1 40152 -0.24040355 0.99492233 -13.774109 57.004850
    Unten rechts KachelX + 1 60522 KachelY + 1 40152 -0.24035561 0.99492233 -13.771362 57.004850
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99494843-0.99492233) × R
    2.61000000000289e-05 × 6371000     		dl = 166.283100000184m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99494843-0.99492233) × R
    2.61000000000289e-05 × 6371000     		dr = 166.283100000184m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24040355--0.24035561) × cos(0.99494843) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.544546143572626 × 6371000     		do = 166.318408864803m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24040355--0.24035561) × cos(0.99492233) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.544568034263248 × 6371000     		du = 166.325094845185m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99494843)-sin(0.99492233))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.544546143572626-0.544568034263248)×R²
    abs(-0.24035561--0.24040355)×2.18906906219729e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.18906906219729e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.18906906219729e-05×40589641000000     		ar = 27656.4964974667m²