Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60520 / 56228
↖ ↑ ↗
← N 24.756808°
W 13.776856°		 ← 277.36 m → N 24.756808°
W 13.774109°		 →
↑
277.33 m
↓
↑
277.33 m
↓
N 24.754314°
W 13.776856°		 ← 277.36 m →
76 920 m²		 N 24.754314°
W 13.774109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56228 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461734771728516 y=0.428989410400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461734771728516 × 217)
    floor (0.461734771728516 × 131072)
    floor (60520.5)     		tx = 60520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428989410400391 × 217)
    floor (0.428989410400391 × 131072)
    floor (56228.5)     		ty = 56228
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60520 / 56228 ti = "17/60520/56228"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60520/56228.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60520 ÷ 217
    60520 ÷ 131072     		x = 0.46173095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56228 ÷ 217
    56228 ÷ 131072     		y = 0.428985595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46173095703125 × 2 - 1) × π
    -0.0765380859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24045149
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428985595703125 × 2 - 1) × π
    0.14202880859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.446196661663483
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24045149} λ = -0.24045149}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.446196661663483))-π/2
    2×atan(1.56235869238238)-π/2
    2×1.00144207204936-π/2
    2.00288414409872-1.57079632675     		φ = 0.43208782
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24045149} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.776856°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43208782 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.756808°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60520 KachelY 56228 -0.24045149 0.43208782 -13.776856 24.756808
    Oben rechts KachelX + 1 60521 KachelY 56228 -0.24040355 0.43208782 -13.774109 24.756808
    Unten links KachelX 60520 KachelY + 1 56229 -0.24045149 0.43204429 -13.776856 24.754314
    Unten rechts KachelX + 1 60521 KachelY + 1 56229 -0.24040355 0.43204429 -13.774109 24.754314
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43208782-0.43204429) × R
    4.35300000000138e-05 × 6371000     		dl = 277.329630000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43208782-0.43204429) × R
    4.35300000000138e-05 × 6371000     		dr = 277.329630000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24045149--0.24040355) × cos(0.43208782) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.90809341802181 × 6371000     		do = 277.355104188419m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24045149--0.24040355) × cos(0.43204429) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.908111646117226 × 6371000     		du = 277.36067151795m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43208782)-sin(0.43204429))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.90809341802181-0.908111646117226)×R²
    abs(-0.24040355--0.24045149)×1.82280954152958e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.82280954152958e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.82280954152958e-05×40589641000000     		ar = 76919.5604280683m²