Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6052 / 6345
↖ ↑ ↗
← S 69.794136°
E 85.957031°		 ← 1 687.77 m → S 69.794136°
E 86.000977°		 →
↑
1 687.17 m
↓
↑
1 687.17 m
↓
S 69.809309°
E 85.957031°		 ← 1 686.55 m →
2 846 522 m²		 S 69.809309°
E 86.000977°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6052 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6345 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.73883056640625 y=0.77459716796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.73883056640625 × 213)
    floor (0.73883056640625 × 8192)
    floor (6052.5)     		tx = 6052
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.77459716796875 × 213)
    floor (0.77459716796875 × 8192)
    floor (6345.5)     		ty = 6345
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6052 / 6345 ti = "13/6052/6345"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6052/6345.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6052 ÷ 213
    6052 ÷ 8192     		x = 0.73876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6345 ÷ 213
    6345 ÷ 8192     		y = 0.7745361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.73876953125 × 2 - 1) × π
    0.4775390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.50023321
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7745361328125 × 2 - 1) × π
    -0.549072265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.7249613959281
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.50023321} λ = 1.50023321}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7249613959281))-π/2
    2×atan(0.178179930110965)-π/2
    2×0.17632943014355-π/2
    0.3526588602871-1.57079632675     		φ = -1.21813747
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.50023321} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 85.957031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21813747 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.794136°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6052 KachelY 6345 1.50023321 -1.21813747 85.957031 -69.794136
    Oben rechts KachelX + 1 6053 KachelY 6345 1.50100020 -1.21813747 86.000977 -69.794136
    Unten links KachelX 6052 KachelY + 1 6346 1.50023321 -1.21840229 85.957031 -69.809309
    Unten rechts KachelX + 1 6053 KachelY + 1 6346 1.50100020 -1.21840229 86.000977 -69.809309
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21813747--1.21840229) × R
    0.000264819999999943 × 6371000     		dl = 1687.16821999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21813747--1.21840229) × R
    0.000264819999999943 × 6371000     		dr = 1687.16821999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.50023321-1.50100020) × cos(-1.21813747) × R
    0.000766990000000023 × 0.345394249972427 × 6371000     		do = 1687.7666848949m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.50023321-1.50100020) × cos(-1.21840229) × R
    0.000766990000000023 × 0.345145715502044 × 6371000     		du = 1686.55222287304m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21813747)-sin(-1.21840229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345394249972427-0.345145715502044)×R²
    abs(1.50100020-1.50023321)×0.000248534470383921×R²
    0.000766990000000023×0.000248534470383921×6371000²
    0.000766990000000023×0.000248534470383921×40589641000000     		ar = 2846521.82930045m²