Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60518 / 84206
↖ ↑ ↗
← S 45.548679°
W 13.782349°		 ← 213.85 m → S 45.548679°
W 13.779602°		 →
↑
213.87 m
↓
↑
213.87 m
↓
S 45.550602°
W 13.782349°		 ← 213.84 m →
45 735 m²		 S 45.550602°
W 13.779602°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60518 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84206 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461719512939453 y=0.642444610595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461719512939453 × 217)
    floor (0.461719512939453 × 131072)
    floor (60518.5)     		tx = 60518
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642444610595703 × 217)
    floor (0.642444610595703 × 131072)
    floor (84206.5)     		ty = 84206
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60518 / 84206 ti = "17/60518/84206"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60518/84206.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60518 ÷ 217
    60518 ÷ 131072     		x = 0.461715698242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84206 ÷ 217
    84206 ÷ 131072     		y = 0.642440795898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461715698242188 × 2 - 1) × π
    -0.076568603515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24054736
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642440795898438 × 2 - 1) × π
    -0.284881591796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.894981915906448
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24054736} λ = -0.24054736}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.894981915906448))-π/2
    2×atan(0.408614988005703)-π/2
    2×0.387910958497004-π/2
    0.775821916994008-1.57079632675     		φ = -0.79497441
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24054736} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.782349°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79497441 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.548679°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60518 KachelY 84206 -0.24054736 -0.79497441 -13.782349 -45.548679
    Oben rechts KachelX + 1 60519 KachelY 84206 -0.24049943 -0.79497441 -13.779602 -45.548679
    Unten links KachelX 60518 KachelY + 1 84207 -0.24054736 -0.79500798 -13.782349 -45.550602
    Unten rechts KachelX + 1 60519 KachelY + 1 84207 -0.24049943 -0.79500798 -13.779602 -45.550602
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79497441--0.79500798) × R
    3.35699999999273e-05 × 6371000     		dl = 213.874469999537m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79497441--0.79500798) × R
    3.35699999999273e-05 × 6371000     		dr = 213.874469999537m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24054736--0.24049943) × cos(-0.79497441) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.700303033581398 × 6371000     		do = 213.845955949581m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24054736--0.24049943) × cos(-0.79500798) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.700279069387175 × 6371000     		du = 213.838638194586m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79497441)-sin(-0.79500798))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.700303033581398-0.700279069387175)×R²
    abs(-0.24049943--0.24054736)×2.39641942226809e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39641942226809e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39641942226809e-05×40589641000000     		ar = 45735.4079541656m²